El lema de Zorn

El lema de Zorn es un axioma de teoría de conjuntos equivalente al axioma de elección, que constituye una poderosa herramienta para probar resultados de existencia en diversas áreas de las Matemáticas como Análisis Funcional (teorema de Hahn-Banach), Topología (teorema de Tychonov), Álgebra Lineal (teorema de la base) y Álgebra Conmutativa (existencia de ideales propios maximales en anillos con unidad).

Antes de poder enunciar el lema de Zorn es necesario proporcionar algunas definiciones.

Un orden en un conjunto X es una relación binaria \, \leq\, reflexiva, antisimétrica y transitiva, es decir,

1º. x \leq x,\, para todo x \in X,
2º. si x \leq y\; e \;y \leq x\, entonces \,x=y,
3º. si \,x \leq y \leq z\, entonces \,x \leq z.

Si además se verifica

4º. x \leq y\; o \;y \leq x\, para todo \;, x,\,y \in X,

entonces se dice que \, \leq\, es un orden total. Si el orden no es necesariamente total entonces se dice que es un orden parcial.

El conjunto \mathbb N de los números naturales con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado, mientras que la familia de los subconjuntos \mathcal P(X) de un conjunto X con la relación de inclusión \subseteq es un conjunto parcialmente ordenado.

Se dice que un subconjunto C\, de un conjunto parcialmente ordenado (X, \leq ) es una cadena si (C, \leq ) está totalmente ordenado.

Se dice que un elemento c\, de un. conjunto parcialmente ordenado (X, \leq )  es una cota superior de un subconjunto S \subseteq X si se verifica s \leq      c para todo s \in S, y si además c \in S entonces se dice que c es el máximo de S.

Se dice que un elemento m\, de un. conjunto parcialmente ordenado (X, \leq )  es un elemento maximal si la relación m \leq x implica x=m para todo  x \in X. Un ejercicio sencillo pero importante es observar que  que si (X, \leq )  tiene un máximo m \in X  entonces m\, es un elemento maximal, pero que el recíproco es falso.

Se dice que un. conjunto parcialmente ordenado (X, \leq )  es inductivo si toda cadena en X posee una cota superior.

Lema de Zorn. Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal.

 

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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