Se dice que una variable aleatoria continua obedece a una distribución normal de parámetros
y se denota
si su función de densidad de probabilidad viene dada por la expresión
Observemos que para todo
Además, practicando el cambio de variable
resulta que
porque según este post, la integral gaussiana viene dada por la expresión
Calculemos ahora la función generadora de momentos. Tenemos
Completando el cuadrado en la expresión entre corchetes resulta
y de aquí se deduce que
donde
Resumiendo, la función generadora de momentos de una distribución normal de parámetros viene dada por la expresión
Ahora calculamos las dos primeras derivadas de la función generadora de momentos.
Finalmente, los momentos de respecto al origen vienen dados por
y por lo tanto
Además, la varianza de
viene dada por