El problema de los cumpleaños

¿Cuál es el mínimo número de personas para que dos de ellas, con una probabilidad mayor o igual que 1/2, tengan la misma fecha de cumpleaños?

La solución a este problema es 23 personas. Se alcanza una probabilidad de 0.99 con solamente 57 personas. Este resultado se conoce como paradoja de los cumpleaños.

Consideremos el problema de calcular la probabilidad p_n de que en un grupo de n personas haya una coincidencia. Una buena forma de atacar este problema consiste en considerar el suceso contrario, es decir, que las fechas de cumpleaños sean distintas. Tenemos

\displaystyle{1-p_n= \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \cdots \cdot \frac{365-n+1}{365}= \left (1- \frac {1}{365}\right ) \cdot \left (1- \frac {2}{365}\right ) \cdot \cdots \cdot \left (1- \frac {n-1}{365}\right ).}

Aplicando la desigualdad 1-x \leq e^{-x} en esta identidad resulta

\displaystyle{1-p_n= \prod_{k=1}^{n-1} \left ( 1- \frac{k}{365} \right ) \leq \prod_{k=1}^{n-1} e^{-k/365}= \exp \left ( -\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{365} \right )= \exp \left (- \frac{n^2-n}{730}\right).}

La anterior expresión proporciona una cota superior para 1-p_n. Ahora queremos hallar el menor n tal que p_n \geq 1/2, es decir, 1- p_n \leq 1/2. Esta desigualdad se verifica siempre que \displaystyle{ \exp \left (  - \frac{n^2-n}{730} \right ) \leq \frac{1}{2},} es decir, n^2-n  \geq 730 \log 2. Al resolver esta inecuación resulta finalmente \displaystyle{n \geq \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+730 \log 2} = 22.999943 \cdots .}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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