El cuerno de Gabriel

El cuerno de Gabriel o trompeta de Torricelli es la superficie de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de la función f(x) = 1/x en el dominio x \geq 1 alrededor del eje de abscisas en el espacio euclídeo \mathbb R^3.

cuerno_gabriel

El volumen encerrado por esta superficie viene dado por la integral

\displaystyle{V=\pi \int_1^{+\infty} f(x)^2 \,dx= \pi \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2} =\pi,}

mientras que el área lateral viene dada por la integral

\displaystyle{A=2\pi \int_1^{+\infty} f(x) \sqrt{1+f^\prime(x)^2} \,dx}

\displaystyle{= 2 \pi \int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\,dx}

\displaystyle{\geq 2 \pi\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x} = +\infty.}

Tenemos entonces una paradoja: mientras que el cuerno de Gabriel contiene una cantidad finita de pintura, hace falta una cantidad infinita de pintura para pintar su superficie. ¿Sería el lector capaz de explicar esta paradoja?

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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2 respuestas a El cuerno de Gabriel

  1. Bacterio Bacterio dijo:

    Ese radicando de esa raiz cuadradaaaa…, no es correcto!!! 1+f ‘(x)^2 ha de ser 1+1/x^4

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