El criterio de condensación

El criterio de condensación de Cauchy asegura que si (a_n) es una sucesión decreciente de números reales positivos entonces la serie infinita \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n} tiene el mismo carácter que la serie condensada \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty 2^k  a_{2^k}.}

Consideremos por ejemplo la serie infinita

\displaystyle{\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(\log n)^{\log n}}}.

Es evidente que la sucesión (1/(\log n)^{\log n}) es decreciente y que sus términos son positivos. Se sigue del criterio de condensación de Cauchy que esta serie infinita tiene el mismo carácter que la serie condensada

\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{(\log (2^k))^{\log (2^k)}}= \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{(k \log 2)^{k \log 2}}}.

Si aplicamos el criterio de la raíz a la nueva serie resulta

\displaystyle{\lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{2^k}{(k \log 2)^{k \log 2}}}= \lim_{k \to \infty} \frac{2}{(k \log 2)^{\log 2}} =0}

y por lo tanto la serie es convergente.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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