Movimiento planetario

1. Las leyes de Kepler. Las leyes de Kepler son tres leyes empíricas que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

  1. Cada planeta se mueve alrededor del Sol describiendo una elipse con el Sol situado en uno de sus focos.
  2. Los planetas se mueven con velocidad areolar constante, es decir, el vector de posición que une al sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
  3. La razón del cubo del semieje mayor entre el cuadrado del periodo de revolución es la misma para todos los planetas, es decir, existe una constante C tal que

    \displaystyle{  \frac{R^3}{T^2}=C.  }

2. La manzana de Newton. Dice la leyenda que Newton vio caer una manzana de un árbol, y pensó que la causa que hacía caer a la manzana hacia la tierra era la misma que hacía caer a la luna hacia la tierra. Newton observó que como quiera que la fuerza estaba dirigida hacia la tierra, la causa debía ser que la tierra atraía a la manzana.
La manzana de Newton

3. El principio de conservación del momento angular. Recordemos que el momento angular de una partícula es igual al momento de su momento lineal, es decir,

\displaystyle{  {\bf L} = {\bf r} \times m {\bf r}^\prime.}

Si tomamos derivadas y tenemos en cuenta que el producto vectorial de vectores proporcionales es nulo entonces resulta

\displaystyle{  {\bf L}^\prime = {\bf r} \times m {\bf r}^{\prime \prime.}}

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos

\displaystyle{  {\bf L}^\prime = {\bf r} \times {\bf F},}

es decir, que la derivada del momento angular es igual al momento de la fuerza.

Teorema 1. El momento angular de una partícula que se mueve en un campo de fuerzas centrales permanece constante.

Demostración. Si el campo {\bf F} es proporcional al vector de posición {\bf r} entonces la derivada del momento angular es {\bf L}^\prime={\bf r} \times {\bf F} = {\bf 0} y por lo tanto el momento angular es constante.

Corolario 2. Las trayectorias en un campo de fuerzas centrales son planas.

Demostración. Si {\bf L}={\bf 0} entonces {\bf r}^\prime es proporcional a {\bf r} y por lo tanto {\bf r} está confinado a una recta. Si {\bf L} \neq {\bf 0}, el vector de posición {\bf r} es perpendicular al vector constante {\bf L} y por lo tanto está confinado a un plano.

4. Coordenadas polares en el plano. A cada punto (x,y) \in \mathbb R^2 \backslash \{(0,0)\} le podemos asociar un par de coordenadas polares (r,\theta) de modo que

\displaystyle{  x= r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta.  }

Sea ahora f una función real de variable real. La gráfica de f en coordenadas polares es el conjunto de puntos con coordenadas polares (r, \theta) tales que r =f(\theta).

5. Cónicas en coordenadas polares. La ecuación de una cónica en coordenadas polares con centro en un foco tiene una forma particularmente sencilla:

\displaystyle{  r(1+ \varepsilon \cos \theta) = \Lambda.}

Se dice que \varepsilon es la excentricidad de la cónica. Cuando 0 \leq \varepsilon 1 se trata de una hipérbola.

La ecuación de una elipse de semiejes a > b>0 en coordenadas cartesianas tiene la forma

\displaystyle{  \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} =1.}

Se puede demostrar que se tiene la siguiente relación entre los parámetros de una elipse en coordenadas polares centradas en un foco y coordenadas cartesianas.

\displaystyle{  \varepsilon = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}, \quad \Lambda =(1- \varepsilon^2)a.}

6. Áreas de figuras planas en coordenadas polares. Una herramienta necesaria para deducir la ley de las áreas a partir de las leyes de Newton es la siguiente fórmula para el área de una figura plana en coordenadas polares.

Teorema 3. El área de la región formada por los puntos de coordenadas polares (r, \theta) tales que \theta_0 \leq \theta \leq \theta_1, 0 \leq r \leq f(\theta) viene dada por la expresión

\displaystyle{  A = \frac{1}{2} \int_{\theta_0}^{\theta_1} f(\theta)^2 \,d\theta.}

7. La segunda ley de Kepler. Seguimos en orden cronológico el análisis de las leyes de Kepler realizado por Newton. La ley de las áreas es la primera en ser descubierta y es cierta en cualquier campo de fuerzas centrales.

Teorema 4. La velocidad areolar de un cuerpo que se mueve en un campo de fuerzas centrales permanece constante.

Observación. Las regiones sombreadas en la siguiente figura tienen igual área y por lo tanto el planeta recorre los correspondientes arcos de elipse en el mismo tiempo.

La ley de las áreas

Demostración. Consideramos coordenadas polares con origen en el centro del campo

{\bf r}(t) = r(t) (\cos \theta(t), \sin \theta(t)).

Es conveniente considerar el vector unitario {\bf e}(s)=(\cos s, \sin s), de modo que

{\bf r}(t)= r(t){\bf e}(\theta(t)).

Observemos que {\bf e}^\prime(t) =(-\sin t, \cos t ) es otro vector unitario y además se tiene

\det \{ {\bf e}(t), {\bf e}^\prime(t)\}=1.

Calculando derivadas resulta

{\bf r}^\prime (t) = r^\prime(t) {\bf e}(\theta(t)) + r(t) \theta^\prime(t) {\bf e}^\prime(\theta(t))

y por lo tanto

\det \{{\bf r}(t), {\bf r}^\prime(t)\}  =   r(t)r^\prime(t) \det \{ {\bf e}(\theta(t)),  {\bf e}(\theta(t)) \} +   r(t) \theta^\prime(t)^2 \det \{ {\bf e}(\theta(t)) , {\bf e}^\prime(\theta(t))\}

=   r(t)^2 \theta^\prime(t) \det \{ {\bf e}(\theta(t)) , {\bf e}^\prime(\theta(t))\} = r(t)^2 \theta^\prime(t).

Sea A(t) el área barrida por el vector en posición en el instante t. Según el Teorema 3, tenemos la siguiente expresión para A(t) en coordenadas polares.

\displaystyle{   A(t) = \frac{1}{2} \int_{\theta(0)}^{\theta(t)} \rho (\varphi )^2 \,d\varphi,}

donde \rho = r \circ \theta^{-1} y donde hemos cambiado de nombre a la variable de integración para no confundirla con la función \theta.

Aplicando el teorema fundamental del cálculo resulta que

\displaystyle{  A^\prime(t) =\frac{1}{2} \theta^\prime(t) \rho(\theta(t))^2 =\frac{1}{2} \theta^\prime(t) r(t)^2  = \frac{1}{2}  \det \{{\bf r}(t), {\bf r}^\prime(t)\}.}

y calculando derivadas nuevamente se obtiene

\displaystyle{  A^{\prime \prime} (t) = \frac{1}{2} \det \{ {\bf r}^\prime(t), {\bf r}^\prime(t) \} +  \frac{1}{2} \det \{{\bf r}(t), {\bf r}^{\prime\prime}(t) \} = \frac{1}{2} \det \{{\bf r}(t), {\bf r}^{\prime\prime}(t)\}.}

Ahora bien, de acuerdo con la segunda ley de Newton, tenemos {\bf F} = m {\bf r}^{\prime \prime}, y como {\bf F} es un campo de fuerzas centrales, {\bf F} es proporcional a {\bf r} y por lo tanto A^{\prime\prime}(t)=0, luego A^\prime(t) es constante, como queríamos demostrar.

8. La primera ley de Kepler. Ésta es la siguiente ley en el análisis de Newton. Es importante que la magnitud del campo sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia para que las órbitas sean elípticas.

Lema 5. Si A,B \in \mathbb R entonces existe \theta_0 \in \mathbb R y existe D>0 tales que para todo \theta \in \mathbb R,

A \cos \theta + B \sin \theta = D \cos ( \theta - \theta_0).

Demostración. Si A=B=0 entonces el resultado es trivial. Si (A,B) \neq (0,0) entonces consideramos la forma polar (A,B)= D (\cos \theta_0, \sin \theta_0), de modo que

D \cos (\theta- \theta_0) = D \cos \theta \cos \theta_0 + D \sin \theta \sin \theta_0 = A \cos \theta + B \sin \theta,

como queríamos demostrar.

Teorema. La trayectoria que describe un cuerpo que se mueve en un campo de fuerzas centrales inversamente porporcional al cuadrado de la distancia es una sección cónica con un foco el centro del campo.

La primera ley de Kepler

Demostración. Ya hemos visto que la hipótesis de una fuerza central implica que existe una constante C tal que

r^2 \theta^\prime=C.

Además tenemos

\displaystyle{  {\bf r}^{\prime \prime} (t)=  - \frac{\gamma}{r^2} {\bf e}(\theta(t)),}

de modo que

\displaystyle{  \frac{{\bf r}^{\prime \prime} (t)}{\theta^\prime(t)}=  - \frac{\gamma}{C} {\bf e}(\theta(t)).}

Ahora introducimos la función auxiliar {\bf f}= {\bf r}^\prime \circ \theta^{-1}. Según la regla de la cadena tenemos

\displaystyle{  {\bf f}^\prime(\theta(t)) =  \frac{{\bf r}^{\prime \prime} (t)} {\theta^\prime(t)},}

de donde se deduce que

\displaystyle{  {\bf f}^\prime(\theta(t))  = - \frac{\gamma}{C} {\bf e}(\theta(t)),}

que cuando s= \theta(t) se puede expresar como

\displaystyle{  {\bf f}^\prime(s)  = - \frac{\gamma}{C} {\bf e}(s).}

Esta ecuación vectorial se descompone como dos ecuaciones escalares. Si {\bf f}=(f_1,f_2) entonces

\displaystyle{  f_1^\prime (s) = -\frac{\gamma}{C} \cos s,}

\displaystyle{  f_2^\prime (s) = -\frac{\gamma}{C} \sin s,}

de donde se deduce que existen constantes A,B \in \mathbb R tales que

\displaystyle{  {\bf f} (s) = \left (- \frac{\gamma}{C} \sin s + A,  \frac{\gamma}{C} \cos s+B\right ).}

Simplificando resulta

\displaystyle{  r(t) \left ( \frac{\gamma}{C} + B \cos \theta (t) - A \sin \theta(t)\right ) =C.}

Según el Lema 5, esto también se puede expresar como

\displaystyle{  r(t) \left ( \frac{\gamma}{C} + D \cos (\theta(t)-\theta_0)\right ) =C.}

Si efectuamos una rotación en el sistema de coordenadas polares podemos suponer \theta_0=0 de modo que

\displaystyle{  r(t) \left ( 1+ \frac{CD}{\gamma}   \cos \theta(t) \right ) =\frac{C^2}{\gamma}.}

Si tomamos

\displaystyle{  \varepsilon = \frac{CD}{\gamma}, \quad \Lambda = \frac{C^2}{\gamma},}

entonces resulta

r(1+\varepsilon \cos \theta  ) = \Lambda,

que es la ecuación de una cónica en coordenadas polares centradas en un foco.

9. La tercera ley de Kepler. La última parte del análisis de Newton trata la razón de proporcionalidad entre los cubos de los semiejes mayores y los cuadrados de los periodos de revolución.

Teorema. La razón entre el cubo del semieje mayor y el cuadrado del periodo de revolución es la misma para todos los planetas. Más precisamente,

\displaystyle{  \frac{a^3}{T^2}=\frac{\gamma}{4 \pi^2 }.}

Demostración. Tenemos

\displaystyle{  A^\prime= r^2 \theta^\prime=\frac{C}{2}}

y por lo tanto

A(t) = \frac{Ct}{2},

de donde se deduce que

\displaystyle{   \pi a b = A(T) = \frac{CT}{2},}

es decir,

\displaystyle{  C = \frac{2 \pi ab}{T}.}

Ahora se sigue que

\displaystyle{  \gamma = \frac{C^2}{\Lambda} = \frac{4 \pi^2 a^2 b^2}{\Lambda T^2},}

y por otra parte, \Lambda  = 1 - \varepsilon^2 a = b^2/a luego

\displaystyle{  \gamma = \frac{4 \pi^2 a^2 b^2}{\Lambda T^2}= \frac{4 \pi^2 a^3}{T^2},}

como queríamos demostrar.

Observación. La tercera ley de Kepler tiene una sencilla demostración en el caso especial de una órbita circular. La idea de esta demostración es igualar la fuerza de atracción gravitatoria con la fuerza centrípeta

\displaystyle{\gamma \frac{m}{r^2} = \frac{mv^2}{r}.  }

Tenemos rv^2 = \gamma y como v = 2 \pi r /T se sigue que

\displaystyle{   \frac{4 \pi^2 r^3}{T^2}= \gamma,}

como queríamos demostrar.

10. Órbitas geoestacionarias. Los satélites geoestacionarios tienen una órbita circular alrededor de la tierra, en el plano ecuatorial, y su periodo de revolución es de 24 horas. Un satélite geoestacionario se percibe como un punto inmóvil en el cielo para un observador situado en la superficie terrestre.

El Primer satélite geoestacionario fue el Syncom 32 lanzado en Cabo Kennedy el 19 de agosto de 1964, fue un satélite experimental de comunicaciones ubicado sobre el ecuador a 180 grados de longitud en el Oceano Pacífico. Este satélite cubrió televisión en directo sobre los juegos olímpicos de 1964 en Tokyo, y se usó para varias pruebas de comunicaciones.

Syncom_2

Una bonita aplicación de la tercera ley de Kepler permite calcular el radio de una órbita geoestacionaria teniendo en cuenta la distancia de la tierra a la luna R_{\text luna}\simeq 380000 \text{ km}y el periodo de rotación de la luna alrededor de la tierra T_{\text luna} \simeq 28 \text{ dias}. Como T_{\text geo} = 1 \text{ dia},

\displaystyle{  \frac{R_{\text geo}^3}{(3.8 \times 10^5)^3} = \frac{1^2}{28^2}  }

de donde se deduce que

\displaystyle{R_{\text geo} \simeq \frac{3.8 \times 10^5}{\sqrt[3]{28^2}} \text{ km} \simeq  0.41 \times 10^5 \text{ km} = 41000 \text{ km}  }

La altura de una órbita geoestacionaria es la diferencia entre su radio y el radio de la tierra, es decir, 41000 \text{ km} - 6300 \text{ km} = 35700 \text{ km}.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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