La fórmula de Stirling

La fórmula de Stirling proporciona una aproximación para el factorial de un número natural suficientemente grande. Esta aproximación tiene aplicaciones muy importantes a la física estadística cuando se trata de estimar el factorial de un número del orden del número de Avogadro.

Si (a_n), (b_n) son  dos sucesiones de números positivos entonces convenimos en decir que a_n \approx b_n cuando n \to \infty si se verifica que

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} =1.}

La fórmula de Stirling asegura que se tiene la aproximación

\displaystyle{n! \approx \sqrt{2\pi n }\left(  \frac{n}{e} \right )^n.}

La demostración se basa en usar la integral euleriana de primera especie

\displaystyle{n!= \int_0^\infty x^n  e^{-x}\, dx.}

Aplicamos el cambio de variable x=nt y obtenemos

\displaystyle{n! =\int_0^\infty (nt)^n e^{-nt} n dt  =n^{n+1} \int_0^\infty t^n e^{-nt} \, dt.}

Aplicamos el cambio de variable s=(t-1) \sqrt{n}, de modo que t=1+ s/ \sqrt{n}, de donde se sigue que

\displaystyle{n!  =n^{n+1}  \int_{-\sqrt{n}}^\infty \left( 1+\frac{s}{\sqrt{n}}\right) ^n\cdot e^{ \displaystyle{-n \left(1+\frac{s}{\sqrt{n}} \right) } }\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \, ds}

\displaystyle{= n^n \cdot \sqrt{n}  \cdot e^{-n}\int_{-\sqrt{n}} ^\infty \left( 1+\frac{s}{\sqrt{n}}\right) ^n\cdot e^{- s  \sqrt{n}} \, ds}

\displaystyle{ = n^n \cdot \sqrt{n}  \cdot e^{-n}\int_{-\sqrt{n}} ^\infty e^{\displaystyle{ n \log \left( 1+\frac{s}{\sqrt{n}}\right)}} \cdot e^{- s  \sqrt{n}} \, ds.}

Ahora consideramos el desarrollo en serie de Taylor de la función logarítmica

\displaystyle{\log (1+r)=r-\frac{r^2}{2}+\frac{r^3}{3}-\frac{r^4}{4}+\cdots}

y aplicamos la sustitución r= s/\sqrt{n}, de modo que

\displaystyle{ n   \log \left( 1+\frac{s}{\sqrt{n}}\right) -s\sqrt{n} =n  \left( \frac{s}{\sqrt{n}}-\frac{s^2}{2n}+\frac{s^3}{3n\sqrt{n}}-\frac{s^4}{4n^2}+\cdots \right)-s\sqrt{n}}

\displaystyle{=\left ( s\sqrt{n}-\frac{s^2}{2}+\frac{s^3}{3\sqrt{n}}-\frac{s^4}{4n}+\cdots \right ) -s\sqrt{n}}

\displaystyle{= -\frac{s^2}{2}+\frac{s^3}{3\sqrt{n}}-\frac{s^4}{4n}+\cdots}

A continuación tomamos límites cuando n \to \infty y obtenemos

\displaystyle{\lim_{n \to \infty}  n   \log \left( 1+\frac{s}{\sqrt{n}}\right) -s\sqrt{n} = - \frac{s^2}{2},}

de donde se deduce que

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{ \sqrt{2 \pi n} \cdot n^n  \cdot e^{-n}} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-s^2/2} \, ds=1,}

como queríamos demostrar.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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