Lista de posibles preguntas

He aquí una lista de quince posibles preguntas de teoría para el primer examen parcial de cálculo infinitesimal. Podéis plantear cualquier cuestión que tengáis acerca de esta lista en los comentarios a esta entrada.

  1. El axioma del supremo y sus consecuencias.
  2. El principio de Cantor de intervalos encajados.
  3. La existencia y unicidad de la función logarítmica.
  4. El teorema de Bolzano-Weierstrass.
  5. La caracterización de los límites de funciones en términos de límites de sucesiones.
  6. Las discontinuidades de las funciones monótonas.
  7. El teorema de Bolzano y sus consecuencias.
  8. El teorema de Weierstrass en sus dos formas.
  9. La regla de la cadena.
  10. El teorema de Rolle y sus aplicaciones.
  11. El teorema del valor medio de Lagrange.
  12. El teorema del valor medio de Cauchy.
  13. La regla de L’Hôpital.
  14. La propiedad del resto de Taylor.
  15. El teorema de Taylor y sus consecuencias.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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19 respuestas a Lista de posibles preguntas

  1. Javier González dijo:

    ¿Qué entendemos por consecuencias del teorema de Bolzano y del teorema de Taylor y por aplicaciones del teorema de Rolle? ¿La pregunta sobre discontinuidades de funciones monótonas trata sobre los tipos de discontinuidades que pueden darse o habrá también que enunciar el teorema de los límites laterales en cada punto?

      1. El teorema de Bolzano tiene como consecuencia el teorema de valores intermedios para funciones continuas. Otras consecuencia de este teorema es la existencia de soluciones para ciertas ecuaciones.
      2. El teorema de Taylor tiene muchas consecuencias, por ejemplo el cálculo de límites indeterminados a modo práctico y el hecho de que e es irracional a modo teórico.
      3. Las funciones monótonas tienen límites laterales en todo punto y por lo tanto sus discontinuidades solamente pueden ser de salto. Además, una función monótona solamente puede tener una cantidad numerable de discontinuidades.
    • Una consecuencia primordial del teorema de Taylor es que se pueden aproximar los valores de ciertas funciones transcendentes en términos de polinomios con error tan pequeño como sea deseado.

  2. Javi A. dijo:

    ¿La propiedad del resto de Taylor es lo que viene en los apuntes como “Comportamiento del resto de Taylor”?

  3. BrendaM dijo:

    ¿Los problemas del examen estarán relacionados con las posibles preguntas teóricas, o podrán ser cualesquiera de la relación de ejercicios?

    • El examen tiene una parte teórica y una parte práctica. La parte teórica consiste en dos preguntas de la lista que he publicado acompañadas de alguna aplicación. La parte práctica consiste en tres problemas de los 182 que corresponden al primer cuatrimestre.

  4. Alejandra Sánchez dijo:

    ¿Es necesario completar las preguntas de teoría con su demostración?

  5. Javier Fernández dijo:

    ¿A qué se refiere cuando dice “Teorema de Bolzano-Weierstrass? En los apuntes, únicamente aparece enunciado en forma de corolario sin demostración. ¿Qué hay que saber?

    • Hay que enunciar el teorems de Bolzano-Weierstrass y hay que dar una demostración que se basa en un lema que asegura que cualquier sucesión de números reales posee una subsucesión monótona. También hay que dar la demostración de este lema que se basa en la existencia de puntos cumbre.

  6. Javi A. dijo:

    En las demostraciones que diga “se hace de forma análoga” o “resulta evidente”, ¿también podemos decirlo nosotros?

    • Javi, es típico en Análisis Matemático que la demostración de un resultado en un caso sea análoga a la demostración en otro caso. Yo he resuelto a veces en clase la analogía y otras veces la he dejado como ejercicio, pero desde luego hay que hacer el trabajo para que la demostración quede completa. Y aquello de que resulta evidente, hay que tener mucho cuidado de si realmente lo es. Precisamente ahí puede estar el fallo en una demostración.

  7. Javi A. dijo:

    ¿Cuáles son las aplicaciones del Teorema de Rolle?

    • La unicidad de las soluciones de ciertas ecuaciones transcendentes, y sobre todo, el teorema de valor medio de Lagrange, que a su vez tiene múltiples consecuencias.

      • Javi A. dijo:

        ¿Entonces también tenemos que añadir los corolarios del teorema del valor medio de Lagrange?

      • No a ser que yo lo especifique. Ten en cuenta que el teorema de Rolle también tiene como consecuencia el teorema del valor medio de Cauchy, de donde se deduce la regla de L’Hôpital, de la cual se desprende la propiedad del resto de Taylor, etc.

  8. Javier Fernández dijo:

    – Cuando hablamos de las consecuencias del teorema de Bolzano, además de enunciar y demostrar el teorema de los valores intermedios, ¿que más hay que mencionar?.
    – Sabemos que una consecuencia del Teorema de Rolle es el Teorema de Lagrange, ¿que más consecuencias tiene? ¿Es necesario mencionar los corolarios vinculados a Lagrange?
    – Si la pregunta teórica es Teorema del valor medio de Lagrange, además de mencionar sus corolarios, ¿es necesario hablar de los teoremas que nos hablan acerca de cuando una función tiene un mínimo local o máximo local?

    • 1º No hay que enunciar ni demostrar el teorema de los valores intermedios.
      2º No es necesario mencionar esos corolarios.
      3º No es necesario mencionar la condición de extremo local-

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