Foro abierto del cálculo diferencial

El objeto de este post es crear un foro en los comentarios para las dudas que tengáis de cara al examen de febrero. 

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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5 respuestas a Foro abierto del cálculo diferencial

  1. mellowmano dijo:

    Hola Miguel, ¿cómo se estudia la convergencia de una sucesión definida: 1) mediante la fórmula y 2) recursivamente?

  2. Eduardo dijo:

    Hola, tengo varias dudas:
    1. Cálculo de límite superior e inferior. Por ejemplo los ejercicios 22 y 23 de la relación nº 3.
    2. Demostración del teorema de Weierstrass a partir del principio de Cantor de Intervalos encajados. (32 relación 4)

    Un saludo y gracias.

    • Demostrar el teorema de Weierstrass a partir del principio de Cantor de intervalos encajados.

      Solución. Supongamos que f \colon [a,b] \to \mathbb R es continua pero no es acotada. Dividimos el intervalo [a,b] por su punto medio de modo que o bien f no es acotada en el intervalo [a,(a+b)/2] o bien f no es acotada en el intervalo [(a+b)/2,b]. Sea I_1 aquél subintervalo donde f no es acotada. Dividimos el intervalo I_1 por su punto medio en dos subintervalos de modo que f no es acotada en uno de ellos, digamos I_2. Continuando este proceso obtenemos una sucesión de intervalos cerrados encajados I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots \supseteq I_n \supseteq \cdots tal que f no es acotada en I_n y la longitud de I_n es igual a (b-a)/2^n. Según el principio de Cantor de intervalos cerrados encajados existe

      \displaystyle{c \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n.}

      Como f es continua en $c,$ se sigue del problema 30 que existe \delta >0 tal que f está acotada en (c-\delta,c+\delta). Sea n \in \mathbb N tal que (b-a)/2^n < \delta. Tenemos c \in I_n \subseteq (c-\delta,c+\delta) luego f está acotada en I_n y hemos llegado a una contradicción.

  3. Eduardo dijo:

    Hola Miguel, tengo dudas en el problema 28 de la relación 1, se trata de la demostración del principio de inducción ordinaria a partir del principio de buena ordenación.
    Un saludo.

    • 1.28. Deducir el principio de inducción ordinaria a partir del principio de buena ordenación.

      Solución. Sea A \subseteq \mathbb N tal que 1 \in A y tal que n+1 \in A siempre que n \in A. Queremos probar que A=\mathbb N. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que B= \mathbb N \backslash A es no vacío. Sea n=\min B. Entonces n > 1,\;  n \in B pero n-1 \notin B. Como n-1 \in A se sigue que n \in A lo cual contradice que n \in B.

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