Números algebraicos

Se dice que un número real x \in \mathbb R es algebraico si existe un polinomio p(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n con coeficientes enteros con a_n \neq 0 tal que p(\alpha)=0.

Cualquier número racional x=a/b con a,b \in \mathbb Z y con b \neq 0 es raíz del polinomio p(x)=a-bx y por lo tanto es algebraico. Si \alpha \in \mathbb R es algebraico entonces existe un polinomio mónico de grado mínimo p(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}+x^n tal que p(\alpha)=0. Se dice que p es el polinomio mínimo de \alpha.

Es obvio que \sqrt{2} y \sqrt{3} son algebraicos, pues son raíces de los polinomios x^2-2\; y \; x^2-3, respectivamente. Sin embargo, no es evidente que la suma x=\sqrt{2}+\sqrt{3} sea también un número algebraico. Veamos que esto es así. Tenemos (x-\sqrt{2})^2-3=0 pero no todos los coeficientes en esta expresión son enteros, por lo que consideramos la expresión conjugada (x+\sqrt{2})^2-3. Multiplicando ambas expresiones se cancelan los términos cuyos coeficientes no son enteros y resulta

[(x-\sqrt{2})^2-3] \cdot [(x+\sqrt{2})^2-3]=
=(x^2-2\sqrt{2} x -1)\cdot (x^2+2\sqrt{2} x -1)=x^4-10x^2+1,

de donde se obtiene el polinomio mínimo p(x)=x^4-10x^2+1.

El siguiente criterio indica que muchos números algebraicos son irracionales, como por ejemplo \sqrt{2}+\sqrt{3}.

Teorema. Si x \in \mathbb{R} satisface una ecuación algebraica con coeficientes enteros

\displaystyle{  x^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0=0  }

entonces x es irracional si no es entero.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Suponemos que x=r/s con r,s \in \mathbb Z\; corrimos y con s \neq 0, \pm 1. Tenemos

\displaystyle{  \frac{r^n}{s^n} + a_{n-1} \frac{r^{n-1}}{s^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{r}{s} + a_0=0  }

y por lo tanto

\displaystyle{  (\ast) \qquad r^n =-( a_{n-1}r^{n-1} s + \cdots + a_1 r s^{n-1} + a_0 s^n).  }

Como s \notin \{-1,0,1\} se sigue que s posee un divisor primo. Este número divide al segundo miembro de (*) y por lo tanto divide a r^n luego divide a r. Hemos llegado a la contradicción de que r,s poseen un divisor común.

Ejercicio Probar que \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6} es algebraico, calcular su polinomio mínimo y deducir que es irracional.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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