El lema de Poincaré

Se dice que un campo vectorial {\bf f} \colon A \subseteq {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}^n de clase C^1 en un abierto A \subseteq {\mathbb R}^n es cerrado si se verifican las condiciones

\displaystyle{\frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_i}, \qquad 1 \leq i,j \leq n.}


Supongamos que {\bf f} es conservativo, es decir, que existe un campo escalar g \colon A \subseteq {\mathbb R}^n \to {\mathbb R} de clase C^2 tal que {\bf f}= \nabla g. Tenemos como consecuencia de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas que

\displaystyle{\frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial^2 g}{\partial x_j \partial x_i } = \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j }= \frac{\partial f_j}{\partial x_i}}

y por lo tanto el campo {\bf f} es cerrado. El lema de Poincaré afirma que el recíproco es cierto si la geometría del dominio es favorable.

Lema de Poincaré. Sea {\bf f} \colon A \subseteq {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}^n un campo vectorial de clase C^1 en un abierto convexo A \subseteq {\mathbb R}^n. Si {\bf f} es cerrado entonces {\bf f} es conservativo.

Demostración. Se puede suponer sin pérdida de generalidad que {\bf 0} \in A. Sea g el campo escalar definido mediante la expresión

\displaystyle{g({\bf x})= \int_0^1 {\bf f}(t {\bf x}) \cdot {\bf x} \,dt, \qquad {\bf x} \in A.}

Calculando las derivadas parciales de g resulta

\displaystyle{\frac{\partial g}{\partial x_j } = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial x_j} \, {\bf f}(t {\bf x}) \cdot {\bf x} \,dt.}

La función t \to tf_j(t{\bf x}) es una primitiva del integrando, puesto que

\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_j} \, {\bf f}(t {\bf x}) \cdot {\bf x}= \frac{\partial}{\partial x_j} \, \sum_{i=1}^n f_i(t {\bf x})x_i=f_j(t {\bf x}) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (t {\bf x}) t x_i }

\displaystyle{=f_j(t {\bf x}) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_j}{\partial x_i} (t {\bf x}) t x_i = \frac{d}{dt} \left [ t f_j(t {\bf x}) \right ]. }

Se sigue de la regla de Barrow que

\displaystyle{\frac{\partial g}{\partial x_j } = \left . tf_j(t {\bf x}) \right |_{t=0}^{t=1}=f_j({\bf x}), }

de donde se deduce que {\bf f}= \nabla g.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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