Campos conservativos

Sea A \subseteq {\mathbb R}^n abierto. Se dice que un campo vectorial {\bf f} \colon A \to {\mathbb R}^n es conservativo si existe un campo escalar g \colon A \to {\mathbb R} tal que {\bf f} = \nabla g. Se dice que el campo g es un potencial escalar del campo {\bf f}. Si A es un abierto conexo, dos potenciales escalares de un mismo campo vectorial difieren en una constante.

Sea {\bf r} \colon [a,b] \to {\mathbb R}^n una curva parametrizada simple regular de clase C^1 con {\bf r}([a,b]) \subseteq A. Según la regla de la cadena se tiene

\displaystyle{\frac{d}{dt} g({\bf r}(t))= \nabla g ({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}^\prime(t)={\bf f}({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}^\prime(t)}

y por lo tanto la integral del campo {\bf f} a lo largo de la curva C={\bf r}([a,b]) viene dada por

\displaystyle{\int_C {\bf f} \cdot d{\bf r}= g({\bf r}(b))-g({\bf r}(a)),}

es decir, que la integral de línea tiene el mismo valor a lo largo de aquellas curvas que tienen el mismo origen y el mismo extremo. Este curioso fenómeno se conoce como independencia del camino. Es fácil probar la siguiente

Proposición. Sea A \subseteq {\mathbb R}^n un abierto conexo y sea {\bf f} \colon A \to {\mathbb R}^n un campo vectorial continuo. Son equivalentes:

  1. {\bf f} es conservativo,
  2. Si C \subseteq A es cualquier curva simple, cerrada y regular a trozos entonces \displaystyle{\oint_C {\bf f} \cdot d{\bf r}=0,}
  3. La integral de línea \displaystyle{\int_C {\bf f} \cdot d{\bf r}} es independiente del camino.

La energía cinética de una partícula que recorre una curva parametrizada {\bf r} \colon [a,b] \to {\mathbb R}^n viene dada por la expresión

\displaystyle{E_c=\frac{1}{2} m \|{\bf r}^\prime(t)\|^2}

La energía potencial de la partícula en un campo de fuerzas conservativo {\bf f} = - \nabla u viene dada por la expresión

\displaystyle{E_p=u({\bf r}(t)).}

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial:

E=E_c + E_p.

La segunda ley de Newton asegura que {\bf f}({\bf r}(t))= m {\bf r}^{\prime \prime}(t)). Se sigue de la regla de la cadena que

\displaystyle{-\frac{d}{dt} u({\bf r}(t))= -\nabla u ({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}^\prime(t) = {\bf f}({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}^\prime(t)=  m {\bf r}^{\prime \prime}(t) \cdot {\bf r}^\prime(t) = \frac{d}{dt} \frac{1}{2}m \|{\bf r}^\prime(t)\|^2,}

y por lo tanto

\displaystyle{\frac{d}{dt} \left [ \frac{1}{2} m \|{\bf r}^\prime(t)\|^2 + u({\bf r}(t)) \right ]=0.}

de donde se deduce el principio de conservación de la energía, es decir, que en un campo conservativo la energía mecánica permanece constante a lo largo de las trayectorias.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
Esta entrada fue publicada en IFVV_1213. Guarda el enlace permanente.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s