Un conjunto medible que no es boreliano

1º. La escalera de Cantor
Sea C \subseteq [0,1] el conjunto de Cantor. La escalera de Cantor es una función f \colon [0,1] \to {\mathbb R} que tiene las siguientes propiedades:

  1. f es continua,
  2. f es no decreciente,
  3. f es constante sobre cada intervalo de [0,1] \backslash C,
  4. f ( C ) = [0,1].

cantor

Una forma de construir la escalera de Cantor es considerando una sucesión de funciones (f_n) definidas en el intervalo [0,1] mediante la relación de recurrencia f_0(x)=x,

\displaystyle{  f_{n+1}(x) = \left \{                      \begin{array}{rl} f_n(3x)/2, & \text{si } 0 \leq x \leq 1/3, \\                      1/2, & \text{si } 1/3 \leq x \leq 2/3,\\                      (1+ f_n(3x-2))/2, & \text{si }  2/3 \leq x \leq 1.   \end{array} \right .  }

Cantor_function_sequence

Se puede comprobar que la sucesión (f_n) converge uniformemente hacia una función f con las propiedades deseadas.

2º. Existencia de conjuntos no medibles

Se define una relación de equivalencia en {\mathbb R} mediante x \sim y si x-y\in {\mathbb Q}. A continuación se elige un representante de cada clase de equivalencia en el intervalo [0,1]. El conjunto V que resulta de esta elección es un conjunto no medible que se llama conjunto de Vitali. Este post contiene una discusión acerca del conjunto de Vitali. Es fácil comprobar que si E \subseteq V es medible entonces m(E)=0.

Se puede suponer sin pérdida de generalidad que A \subseteq [0,1). En efecto, como m^\ast(A)>0, existe algún n \in {\mathbb N} tal que m^\ast(A \cap [n,n+1))>0. Consideremos el conjunto B=-n+ (A \cap [n,n+1)). Tenemos B \subseteq [0,1), y como la medida exterior es invariante por traslaciones, tenemos m^\ast(B) >0. Si E \subseteq B no es medible entonces el trasladado n+E \subseteq A tampoco es medible. Sea ahora (r_n) una numeración de {\mathbb Q} \cap [0,1]. Sea V_n= r_n + V y sea E_n= V_n \cap A. Afirmamos que E_n no es medible para algún n \in {\mathbb N}. En efecto, en caso contrario, como E_n es medible, -r_n + E_n es medible, y como -r_n +E_n \subseteq V, se sigue que m(E_n)=m(-r_n+E_n)=0. Ahora tenemos

\displaystyle{A = A \cap [0,1) \subseteq A \cap \left ( \bigcup_{n=1}^\infty V_n\right )= \bigcup_{n=1}^\infty A \cap V_n =\bigcup_{n=1}^\infty E_n,}

de donde se deduce que

\displaystyle{m^\ast(A) \leq m^\ast \left ( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right ) \leq \sum_{n=1}^\infty m^\ast(E_n)=0,}

y hemos llegado a una contradicción.

3º. Un conjunto medible que no es boreliano

A continuación probamos la existencia de conjuntos medibles que no son borelianos. Sea f \colon [0,1] \to [0,1] la escalera de Cantor y sea g(x)=f(x)+x.

Proposición. g \colon [0,1] \to [0,2] es un homeomorfismo, es decir, g es una biyección continua y su inversa es continua.

Demostración. g es inyectiva porque es estrictamente creciente. g es sobreyectiva porque g(0)=0, g(1)=2. Además, g es continua por ser la suma de dos funciones continuas. Sea h = g^{-1} y probemos que h es continua. Sea G \subseteq [0,1] abierto y veamos que h^{-1}(G)=g(G) es abierto. Tenemos que [0,1] \backslash G es cerrado y acotado, y por lo tanto es compacto. Como g es continua, [0,2] \backslash g(G)= g([0,1] \backslash G) es compacto y por lo tanto es cerrado. Así llegamos a la conclusión de que h^{-1}(G)=g(G) es abierto.

Proposición. m(g ( C ))=1.

Demostración. Como f es constante sobre cada intervalo abierto (a,b) \subseteq  [0,1]\backslash C,

resulta que m(g(a),g(b))=g(b)-g(a)=f(b)+b-f(a)-a=b-a. Sea \{I_{n,k}\}_{k=1}^{2^{n-1}} la familia de intervalos abiertos que se suprimen en la n-ésima etapa de la construcción del conjunto de Cantor. Tenemos

\displaystyle{m([0,2] \backslash g(C))= m(g([0,1]\backslash C)) = m \left ( \bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{k=1}^{2^{n-1}} g(I_{n,k}) \right )}

\displaystyle{=\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^{2^{n-1}} m(g(I_{n,k})= \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^{2^{n-1}} m(I_{n,k}=m([0,1] \backslash C)=1,}

de donde se deduce que m(g ( C ))=1.

Teorema. Existe un conjunto medible A \subseteq [0,1] que no es boreliano.

Demostración. Como m(g ( C ))>0, existe un conjunto no medible E \subseteq g ( C ). Sea ahora A = g^{-1}(E). Como A \subseteq C y como m( C )=0, se sigue de la completitud de la medida de Lebesgue que A es medible. Afirmamos que A no es boreliano, porque en caso contrario, como h=g^{-1} es continua, h es medible, luego E=h^{-1}(A) es medible, y hemos llegado a una contradicción.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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3 respuestas a Un conjunto medible que no es boreliano

  1. Marta Fernández Delgado dijo:

    Querría preguntarle si la siguiente implicación es cierta:
    -Si una función es integrable, entonces sus iteradas son iguales. ¿El recíproco sería cierto? Si no, podría decirme un contraejemplo.

    Me gustaría saber la relación que existe entre que una función sea integrable y que exista la integral.

    Muchas gracias

  2. Marta Fernández dijo:

    Querría preguntarle si:
    Si tenemos una función de signo constante por Fubini sabemos que las integrales iteradas son iguales a la multiple; pero ¿nos diría si es finita luego integrable o tendría que calcular la iterada?

    Muchas gracias

    Un saludo

  3. Marta,
    El teorema de Fubini asegura que la integral múltiple de una función integrable se puede calcular mediante una integral iterada, pero no garantiza la integrabilidad de la función. El teorema de Tonelli es un criterio de integrabilidad para funciones medibles no negativas: si existe una integral iterada entonces existe la integral múltiple y coinciden.
    Miguel

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