El teorema de Heffter-Young

El teorema de Heffter-Young proporciona una condición suficiente para la igualdad de las derivadas cruzadas de una función real de dos variables reales.

Teorema. Sea A \subseteq \mathbb{R}^2 abierto y sea f \colon A  \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}. Si las derivadas parciales D_1f,D_2f existen en una bola B({\bf a},r) \subseteq A y son diferenciables en {\bf a} entonces D_{1,2}f({\bf a})= D_{2,1}f({\bf a}).

Corolario. Sea A \subseteq \mathbb{R}^n abierto. Si f \colon A  \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} es dos veces diferenciable en {\bf a} \in A entonces D_{i,j}f({\bf a}=D_{j,i}f({\bf a}).


Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que D_1f,D_2f existen en |x|,|y| < \delta y son diferenciables en (0,0). Como D_1f es diferenciable en (0,0),

D_1f(x,y)=D_1f(0,0)+ D_{1,1}f(0,0)x + D_{1,2}f(0,0)y + R(x,y),\;\;\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{R(x,y)}{\|(x,y)\|}=0.}

Sea \Delta (t)=f(t,t)-f(0,t)-f(t,0)+f(0,0), donde |t|< \delta. Sea t fijo y consideremos la función auxiliar G(x)=f(x,t)-f(x,0). Aplicando el teorema del valor medio tenemos

\Delta (t)=G(t)-G(0)= G^\prime(x_0)t = [D_1f(x_0,t)-D_1f(x_0,0)]t, para algún 0<|x_0|<|t|.

Como D_1f es diferenciable en (0,0), tenemos las siguientes relaciones:

D_1f(x_0,t)=D_1f(0,0)+ D_{1,1}f(0,0)x_0 + D_{1,2}f(0,0)t + R_1(t),\;\; \displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac{R_1(t)}{\|(x_0,t)\|}=0.}

D_1f(x_0,0)=D_1f(0,0)+ D_{1,1}f(0,0)x_0  + R_2(t),\;\;\displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac{R_2(t)}{\|(x_0,0)\|}=0,}

de donde se deduce que \Delta (t)=[D_{1,2}f(0,0)t+R_1(t)-R_2(t)]t, y por lo tanto

\displaystyle{\frac{\Delta (t)}{t^2}=D_{1,2}f(0,0)+\frac{R_1(t)}{t}-\frac{R_2(t)}{t}.}

Ahora bien,

\displaystyle{\frac{R_1(t)}{t}=\frac{R_1(t)}{\|(x_0,t)\|} \cdot \frac{\|(x_0,t)\|}{t} \to 0}     cuando t \to 0,

\displaystyle{\frac{R_2(t)}{t}=\frac{R_2(t)}{\|(x_0,0)\|} \cdot \frac{\|(x_0,0)\|}{t} \to 0}     cuando t \to 0,

y llegamos a la conclusión de que

\displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac{\Delta(t)}{t^2}=D_{1,2}f(0,0).}

Aplicando un razonamiento análogo a la función auxiliar H(y)=f(t,y)-f(0,y) resulta

\displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac{\Delta(t)}{t^2}=D_{2,1}f(0,0).}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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7 respuestas a El teorema de Heffter-Young

  1. José María Jiménez Trejo dijo:

    Qué diferencia hay entre estas dos condiciones :
    * Existen D 12 f (a) y D 21 f (a).
    * Existen D 1 f y D 2 f en B (a,r) y son diferenciables en a.

    ¿Acaso no deben de existir de D 1 f y D 2 f para poder usar la definición de D 12 f (a) y D 21 f(a)?.
    ¿No es de si y sólo si la relación entre ellas?.

  2. José María,
    La segunda condición implica la primera, pero no recíprocamente.
    La primera condición se cumple siempre que existan D_1f,D_2f en una bola B({\bf a},r) y tengan derivadas parciales en {\bf a}. Esto no es suficiente para que D_1f,D_2f sean diferenciables en {\bf a}.
    Saludos,
    Miguel

  3. José María Jiménez Trejo dijo:

    Es decir, deben de existir D 11 f (a) y D 22 f (a) ( para las hipótesis de H-Y). Claro, se usan en el polinomio de Taylor.
    Gracias.

  4. Eso que dices es más débil que la segunda condición, porque pueden existir D_{11}f({\bf a}), D_{12}f({\bf a}), D_{21}f({\bf a}) y D_{11}f({\bf a}) sin que D_1f, D_2f sean diferenciables en {\bf a}.

  5. José María Jiménez Trejo dijo:

    Esto nos lleva a la diferencia entre las definiciones de :

    Ser 2- veces diferenciable (existencia de derivadas parciales de orden 1 y diferenciables en a)
    (las del corolario, mas débiles)

    Necesitamos D 1 f y D 2 f diferenciables en a. Ser 1-vez diferenciables ( existencia de derivadas parciales , y límite ). Más fuertes que: Existen D ij f (a).

    Esto es necesario para desarrollar el polinomio de Taylor de D 1 f y D 2 f.

  6. José María Jiménez Trejo dijo:

    ¿Cómo se justifica el corolario en unas hipótesis más débiles?

  7. José María,
    Las hipótesis del corolario son equivalentes a las del teorema. Una función f es dos veces diferenciable en {\bf a} si existen las derivadas parciales D_1f, D_2f en una bola centrada en {\bf a} y son diferenciables en {\bf a}.
    Miguel

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