Condición suficiente de extremo

Teorema. Sea f \colon A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} dos veces diferenciable en {\bf a} \in A, sea Q la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana Hf({\bf a}) y supongamos que \nabla f({\bf a})={\bf 0}.

  1. Si Q es definida positiva entonces f tiene un mínimo relativo en {\bf a}.
  2. Si Q es definida negativa entonces f tiene un máximo relativo en {\bf a}.
  3. Si Q es indefinida entonces f tiene un punto de silla en {\bf a}.


Demostración. Según el teorema de Taylor tenemos

\displaystyle{f({\bf x})=f({\bf a}) + \frac{1}{2}Q({\bf x}-{\bf a})+R({\bf x}),\hskip2em \lim_{{\bf x} \to {\bf a}} \frac{R({\bf x})}{\|{\bf x}-{\bf a}\|^2}=0,}

y por lo tanto

\displaystyle{\frac{f({\bf x})-f({\bf a})}{\|{\bf x}-{\bf a}\|^2}=  \frac{1}{2}Q \left (\frac{{\bf x}-{\bf a}}{\|{\bf x}-{\bf a}\|}\right ) + \frac{R({\bf x})}{\|{\bf x}-{\bf a}\|^2}.}

Supongamos primero que Q es definida positiva. Como Q es continua, Q alcanza su mínimo sobre el compacto K=\{{\bf x} \in \mathbb{R}^n \colon \|{\bf x}\|=1\}, es decir, existe {\bf x}_0 \in K tal que f({\bf x}) \geq f({\bf x}_0) para todo {\bf x} \in K. Como Q es definida positiva se tiene m=f({\bf x}_0)>0. Observemos que

\displaystyle{\frac{f({\bf x})-f({\bf a})}{\|{\bf x}-{\bf a}\|^2} \geq  \frac{m}{2} + \frac{R({\bf x})}{\|{\bf x}-{\bf a}\|^2}.}

Sea \delta >0 tal que si 0 < \|{\bf x}-{\bf a}\| < \delta entonces \displaystyle{\frac{|R({\bf x})|}{\|{\bf x}-{\bf a}\|^2} <\frac{m}{4}.} Tenemos \displaystyle{\frac{f({\bf x})-f({\bf a})}{\|{\bf x}-{\bf a}\|^2} >\frac{m}{4}} y por lo tanto f({\bf x}) > f({\bf a}) siempre que 0 < \|{\bf x}-{\bf a}\| < \delta, es decir, que f tiene un mínimo relativo en {\bf a}. Un razonamiento análogo sirve para probar que si Q es definida negativa entonces f tiene un máximo relativo en {\bf a}. Finalmente, supongamos que Q es indefinida. Sean {\bf u}, {\bf v} dos vectores unitarios tales que Q({\bf u}) < 0 < Q({\bf v}). Tenemos

\displaystyle{f(a+t{\bf v})=f({\bf a}) + \frac{1}{2} Q(t{\bf v}) + R({\bf a}+t{\bf v}),}

de donde se deduce que

\displaystyle{\frac{f(a+t{\bf v})-f({\bf a})}{t^2} = \frac{1}{2} Q({\bf v}) + \frac{R({\bf a}+t{\bf v})}{t^2},}

Sea r>0 arbitrario y sea 0 < \delta < r tal que si 0 < |t| < \delta entonces \displaystyle{\frac{|R({\bf a}+t {\bf v})|}{t^2}<\frac{Q({\bf v})}{4}.} Tenemos \displaystyle{\frac{f(a+t{\bf v})-f({\bf a})}{t^2} > \frac{Q({\bf v})}{4},} y por lo tanto f({\bf a} + t {\bf v}) > f({\bf a}). Un razonamiento análogo sirve para probar que f({\bf a} + t {\bf u}) < f({\bf a}). Así pues, f tiene un punto de silla en {\bf a}.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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