Derivadas direccionales

Sea f \colon A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, donde A es abierto, y sea a \in A. Se define la derivada direccional de f según la dirección de un vector v \in \mathbb{R}^n mediante

\displaystyle{D_vf(a)= \lim_{t \to 0} \frac{f(a+tv)-f(a)}{t}.}


Proposición.  Si f \colon A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m es diferenciable en a \in A entonces f admite derivadas direccionales en todas las direcciones y además

\displaystyle{D_vf(a)= Df(a)(v).}

Demostración.  Sea v \in \mathbb{R}^n un vector no nulo. Como f es diferenciable en a tenemos

\displaystyle{\lim_{h \to 0} \frac{\|f(a+h)-f(a)-Df(a)(h)\|}{\|h\|}=0.}

Considerando vectores de la forma h=tv resulta que

\displaystyle{0= \lim_{t \to 0} \frac{\|f(a+tv)-f(a)-Df(a)(tv)\|}{\|tv\|}}

\displaystyle{= \frac{1}{\|v\|}\, \lim_{t \to 0} \frac{\|f(a+tv)-f(a)-Df(a)(tv)\|}{|t|}}

\displaystyle{= \frac{1}{\|v\|}\, \lim_{t \to 0} \left \| \frac{f(a+tv)-f(a)}{t} - Df(a)(v) \right \| ,}

de donde se deduce que existe la derivada direccional D_vf(a) y además

\displaystyle{D_vf(a)= \lim_{t \to 0} \frac{f(a+tv)-f(a)}{t}=Df(a)(v).}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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