Límites dobles y límites reiterados

Sea f \colon S \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} y sea (a,b) \in \mathbb{R}^2 un punto de acumulación de S. Se dice que \ell \in \mathbb{R} es el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende hacia (a,b) y se simboliza \displaystyle{\ell = \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)} si se cumple la siguiente condición:

\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta >0 tal que 0 < \|(x,y)-(a,b)\|< \delta \Rightarrow |f(x,y)-\ell | <\varepsilon.

Supongamos que para todo y en un conjunto que tiene punto de acumulación en b, existe el límite unidimensional \displaystyle{\lim_{x \to a}f(x,y).} Cuando existe este límite unidimensional, se define el límite reiterado como \displaystyle{\lim_{y \to b} (\lim_{x \to a} f(x,y)).} Análogamente se define el otro límite reiterado \displaystyle{\lim_{x \to a} (\lim_{y \to b} f(x,y)).} El siguiente resultado muestra la relación que existe ente límites dobles y límites reiterados.

Proposición. Si existe el límite doble \displaystyle{\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)} y el límite unidimensional \displaystyle{\lim_{x \to a}f(x,y)} entonces existe el límite reiterado \displaystyle{\lim_{y \to b} (\lim_{x \to a} f(x,y))} y además se tiene

\displaystyle{\lim_{y \to b} (\lim_{x \to a} f(x,y))=\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)}

Demostración. Sea \displaystyle{\ell = \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)} y sea \displaystyle{g(y)\lim_{x \to a}f(x,y).} Se trata de probar que entonces \displaystyle{\lim_{y \to b}g(y)=\ell.} Sea \varepsilon >0 y sea \delta >0 tal que la condición 0 < \|(x,y)-(a,b)\|< \delta implica |f(x,y)-\ell | <\varepsilon/2. Fijemos y tal que 0 < |y-b| < \delta/\sqrt{2}. Resulta que para todo x con |x-a|<\delta/\sqrt{2} se verifica la desigualdad 0<\|(x,y)-(a,b)\| < \delta y por tanto se tiene |f(x,y)-\ell| < \varepsilon/2. Tomando ahora límites en esta desigualdad cuando x \to a resulta que |g(y)-\ell| \leq \varepsilon/2 < \varepsilon, como queríamos demostrar.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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6 respuestas a Límites dobles y límites reiterados

  1. Xavi dijo:

    No entiendo la necesidad de tomar épsilon medios

  2. Si tomas \varepsilon entonces al final queda |g(y)-\ell| \leq \varepsilon y realmente quieres una desigualdad estricta.

  3. José María Jiménez Trejo dijo:

    ¿Existe el límite de esta función en el origen (x*y^3)/( x^2+y^6) ?.

  4. José María Jiménez Trejo dijo:

    No, en la dirección x=y^3 vale un medio, y en x=y se va a infinito. Por tanto no puede existir.

  5. jhan luis dijo:

    muy buena….

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