La desigualdad de Cauchy-Schwarz

El producto escalar de dos vectores {\bf x}, {\bf y} \in \mathbb{R}^n se define mediante la expresión

\displaystyle{{\bf x} \cdot {\bf y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i.}

Es fácil comprobar que el producto escalar es una forma bilineal simétrica definida positiva, es decir, que se cumplen las siguientes propiedades.

Proposición (Propiedades del producto escalar)

  1. {\bf x} \cdot {\bf x} \geq 0 y además {\bf x} \cdot {\bf x} = 0 si y sólo si {\bf x}=0,
  2. {\bf x} \cdot {\bf y} = {\bf y} \cdot {\bf x},
  3. ({\bf x}+{\bf y} )\cdot {\bf z} = {\bf x}\cdot {\bf z} + {\bf y}\cdot {\bf z},
  4. (\lambda {\bf x} ) \cdot {\bf y}= \lambda ({\bf x} \cdot {\bf y}).

La norma euclídea de un vector {\bf x} \in \mathbb{R}^n se define como \|{\bf x}\|=({\bf x} \cdot {\bf x})^{1/2}. Es evidente que \|{\bf x}\|=0 si y sólo si {\bf x}=0, y que \|\lambda {\bf x}\| = |\lambda | \cdot \|{\bf x}\|.

Teorema (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
Si {\bf x},{\bf y} \in \mathbb{R}^n entonces |{\bf x} \cdot {\bf y} | \leq \|{\bf x}\| \cdot \|{\bf y}\|.
Demostración. Consideramos la función definida por p(\lambda)= (\lambda {\bf x} + {\bf y}) \cdot (\lambda {\bf x} + {\bf y}). Está claro que p(\lambda) \geq 0 para todo \lambda \in \mathbb{R}. Observemos que

p(\lambda)= ({\bf x} \cdot {\bf x}) \lambda^2 + 2 ({\bf x} \cdot {\bf y}) \lambda + {\bf y} \cdot {\bf y},

es decir, que p(\lambda) es una función polinómica de segundo grado con a lo sumo una raíz real, y por lo tanto su discriminante es no positivo:

\Delta = 4 ({\bf x} \cdot {\bf y})^2 - 4 ({\bf x} \cdot {\bf x})({\bf y} \cdot {\bf y}).

Esta última desigualdad implica |({\bf x} \cdot {\bf y})| \leq ({\bf x} \cdot {\bf x})^{1/2} ({\bf y} \cdot {\bf y})^{1/2}=\|{\bf x} \| \cdot \|{\bf y}\|, como queríamos demostrar.

Corolario (Desigualdad de Minkowski)
Si {\bf x},{\bf y} \in \mathbb{R}^n entonces \|{\bf x} + {\bf y} \| \leq \|{\bf x}\| + \|{\bf y}\|.
Demostración. Tenemos

\|{\bf x} + {\bf y}\|^2 = ({\bf x} + {\bf y})\cdot ({\bf x} + {\bf y})= {\bf x} \cdot {\bf x}  + 2{\bf x} \cdot {\bf y} +{\bf y} \cdot {\bf y} \leq

\leq  {\bf x} \cdot {\bf x}  + 2\|{\bf x}\| \cdot \|{\bf y}\| +{\bf y} \cdot {\bf y}=(\|{\bf x}\| + \|{\bf y}\|)^2,

y tomando raíces cuadradas se deduce la desigualdad.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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4 respuestas a La desigualdad de Cauchy-Schwarz

  1. Daniel dijo:

    ¿Por qué sabemos que tiene a lo sumo una raíz real?

    • Tiene a lo sumo una raíz real porque es no negativo.

    • Fredy Gabriel dijo:

      Tiene a lo sumo una raíz real por lo siguiente: la función p es una parábola, que puede cortar al eje x en dos puntos (2 raíces) pero en este caso, esa función no puede tener valores negativos por hipótesis, lo que permite que, “a lo sumo” la parábola sea tangente al eje x (una raíz real doble)

  2. Magaly ayala dijo:

    me parece muy interesante este tema ya que nos menciona tecnicas para la resolucion de problemas

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