Foro abierto septiembre 2012

Este post tiene por objeto abrir un hilo de discusión para las consultas que se quieran realizar de cara a los exámenes de septiembre.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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5 respuestas a Foro abierto septiembre 2012

  1. eva dijo:

    hola, podrias darme la resolucion de estas integrales? gracias!
    sen^4 (x)
    cos^2 (2x)
    cos^2 (x). cos^4 (x) dx

    • Eva,
      Tenemos las identidades trigonométricas

      \displaystyle{1=\cos^2 x + \sin^2 x,}

      \displaystyle{\cos 2x =\cos^2 x - \sin^2 x,}

      de donde se deduce que

      \displaystyle{\cos^2 x =\frac{1+\cos 2x}{2},}

      \displaystyle{\sin^2 x =\frac{1-\cos 2x}{2}.}

      La primera integral que pides calcular se expresa como

      \displaystyle{I= \int \sin^4 x \,dx = \int \left ( \frac{1-\cos 2x}{2}\right )^2 \,dx=}

      \displaystyle{= \frac{1}{4} \left ( \int dx -  \int 2 \cos 2x \,dx + \int \cos^2 2x \,dx\right )=}

      \displaystyle{= \frac{1}{4} \left ( x - \sin 2x  + \int  \frac{1+\cos 4x}{2} \,dx \right )=}

      \displaystyle{= \frac{1}{4} \left ( x - \sin 2x  + \frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8} \right )=}

      \displaystyle{= \frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4}  +  \frac{\sin 4x}{32}.}

      La segunda integral que pides calcular ya ha sido calculada como parte del cálculo anterior, pero repito el cálculo aquí. Tenemos

      \displaystyle{J=\int \cos^2 2x \,dx = \int  \frac{1+\cos 4x}{2} \,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8}.  }

      La tercera integral que pides calcular viene dada por

      \displaystyle{K=\int \cos^2 x \cdot \cos^4 x \,dx = \int \cos^6 x \,dx= \int \left ( \frac{1 + \cos 2 x}{2} \right )^3\,dx=  }

      \displaystyle{= \frac{1}{8} \left ( \int dx + 3 \int \cos 2x\,dx + 3 \int \cos^2 2x \,dx + \int \cos  ^3 2x \,dx = \right )= }

      \displaystyle{= \frac{1}{8} \left ( x + \frac{3 \sin 2x }{2} + \frac{3x}{2} + \frac{3\sin 4x}{8} + \int \cos  ^3 2x \,dx \right).}

      A continuación calculamos

      \displaystyle{\int \cos  ^3 2x \,dx = \int \cos^2 2x \cdot \cos 2x \,dx= \frac{1}{2} \int (1- \sin^2 2x) \cdot 2 \cos 2x \,dx }

      y practicando el cambio de variable t=\sin 2x,\; dt= 2 \cos 2x \,dx resulta que la expresión anterior es igual a

      \displaystyle{= \frac{1}{2} \int (1-t^2) \,dt = \frac{1}{2} \left (t - \frac{t^3}{3} \right)= \frac{\sin 2x}{2} - \frac{\sin^3 2x}{6}.}

      Resumiendo, la tercera integral que pides calcular se expresa como

      \displaystyle{K= \frac{5x}{16} + \frac{\sin 2x}{4} + \frac{3 \sin 4x}{64} - \frac{\sin^3 2x}{48}.}

  2. Jaime Arnao dijo:

    Quien podria demostrar la siguiente afirmación: Una baxteria se divide en 2 cada veinte minutos, luego de 8 horas, la bacteria inicial ha dado nacimiento a 16.000.000 bacterias.

    • La población de bacterias se duplica en cada generación. Hay 24 intervalos de 20 minutos en 8 horas luego la población de bacterias al cabo de 8 horas es igual a 2^{24}=16777216.

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