Foro abierto mayo 2012

Los comentarios de este post están abiertos a dudas de cara al examen del día 8 de junio.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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114 respuestas a Foro abierto mayo 2012

  1. Pingback: Enlaces yuriesféricos del 23/05/2012 | La Yuriesfera

  2. Josemi_Wingchun dijo:

    espero k se lo este pasando bien en Grecia, una pregunta ¿con lo que hemos dado podemos resolver la totalidad de problemas de los boletines o hay ejercicios que no ? que he empazado a mirarlos por encima y algunos dan miedo, y una cosa mas, por favor si puede terminar de resolver la integral por partes del jueves , que la ultima parte queda integral de [secn O x (sec O)² x tg O] , llamo O a teta que no sabia como escribirlo. gracias de antemano,un saludo.
    P.D.: El paro academico muy guay pero aqui en la biblioteca de fisica solo estamos 15 personas, si es que se le veian las orejas al lobo

    • Solamente se pueden hacer ejercicios hasta la independencia de camino de las integrales de contorno. No se pueden resolver los problemas que se basan en aplicar la fórmula integral de Cauchy.

    • JoseMi, disculpa que haya tardado tanto tiempo en contestar a tu comentario. No recuerdo bien qué forma tenía esta integral pero sí recuerdo que al aplicar la fórmula de integración por partes, el problema se reducía a calcular la integral

      \displaystyle{\int \sec^3 \theta \,d\theta= \int \frac{\cos \theta}{\cos^4 \theta}\,d\theta = \int \frac{\cos \theta}{(1-\sin^2 \theta)^2}\,d\theta=\int \frac{dx}{(1-x^2)^2}.}

      y esta última integral se calcula fácilmente usando el método de descomposición en fracciones simples.

  3. Javier Gómez dijo:

    Quería hacer una pregunta: Haciendo la hoja 2.2 de topología en el plano complejo, nada más empezar, en el ejercicio 1 a), no fui capaz de demostrar que el conjunto dado, que era el conjunto \{ z \in \mathds{C} : |z| < 1 \} es abierto. Intuitivamente, se ve que el conjunto tiene que serlo, pero matemáticamente no fui capaz de demostrar que todos sus puntos son interiores. La dificultad la he encontrado en general en todos los apartados de este ejercicio. Me gustaría saber la demostración del primer apartado, y en particular si este tipo de problemas podrían entrar en el examen. Muchas gracias de antemano

  4. Javier Gómez dijo:

    Perdona Miguel, que no conseguía que se viera la fórmula. El conjunto es: \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \}

  5. Miguel García dijo:

    Hola Miguel, quería saber si puedes poner una lista solo con los resultados de los problemas de
    evaluar integrales. Gracias

  6. Lucía dijo:

    Miguel, de la parte de Topología en el plano complejo no hemos hecho ningún ejercicio y la mayoría de este boletín son de probar o demostrar, ¿esto entraría?
    Es que necesito algún ejemplo o guía para resolver este tipo de ejercicios, ¿podría resolver alguno básico como el 2.2.1 o alguno más complicado para tener una idea?
    Gracias!

  7. @MiguelGarcia, @Lucía, no entran problemas de topología en el plano complejo de cara al examen.

  8. He hecho una selección de los problemas de las relaciones 2.4 y 2.5 que se pueden resolver usando los resultados teóricos que he explicado. Son los siguientes. 2.4.1, 2.4.2, 2.4.4, 2.4.7, 2.4.15, 2.5.6, 2.5.7, 2.5.8.

  9. Daniel López dijo:

    ¿Podrías hacer los tres últimos problemas del boletín 2.1?

  10. 2.1.8. Expresar \cos 4 \theta en términos de potencias de \cos \theta y deducir que

    \displaystyle{\cos \frac{\pi}{8}= \left ( \frac{2+\sqrt{2}}{4} \right )^{1/2}}

    Solución. Tenemos

    \cos 4 \theta + i \sin 4 \theta =  ( \cos \theta + i \sin \theta)^4=

    \displaystyle{= (\cos^4 \theta - 6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta + \sin^4 \theta)+ i ( 4 \cos^3 \theta \sin \theta - 4 \cos \theta \sin^3 \theta)}

    luego

    \cos 4 \theta = \cos^4 \theta - 6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta + \sin^4 \theta = \cos^4 \theta - 6 \cos^2   (1-\cos^2 \theta) + (1- \cos^2 \theta)^2.

    Sea ahora x= \cos (\pi/8). Tomando \theta = \pi/8 resulta

    0 = \cos (\pi/2) = x^4 - 6 x^2(1-x^2)+(1-x^2)^2=8x^4-8x^2+1.

    Ahora se tiene

    \displaystyle{x^2 = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{16}= \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}.}

    Desechando soluciones extrañas se sigue que

    \displaystyle{x^2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4},}

    de donde se deduce el resultado.

  11. eva dijo:

    Hola! alguien me podria dar el desarrollo y la resolucion de la integral por partes de:
    ln(x^3) / x^2
    Gracias!

  12. Daniel López dijo:

    ¿Podría demostrar el problema 2.3.5 apartado b? Lo tenemos como ejemplo en los apuntes, pero no comprendo algunos pasos de la demostración.
    Gracias.

  13. 2.3.5.(b) Sea f \colon \Omega \to \mathbb{C} holomorfa. Probar que si |f| es constante entonces f es constante.
    Solución. Pongamos f= u + i v. Como |f| es constante tenemos u^2+v^2=c. Si c=0 entonces |f|=0 y por lo tanto f=0. Si c \neq 0 entonces tomando derivadas parciales resulta

    \displaystyle{2u \frac{\partial u}{\partial x} + 2 v \frac{\partial v}{\partial x}=0,}

    \displaystyle{2u \frac{\partial u}{\partial y} + 2 v \frac{\partial v}{\partial y}=0.}

    Aplicando las ecuaciones de Cauchy-Riemann se obtiene

    \displaystyle{u \frac{\partial u}{\partial x} - v \frac{\partial u}{\partial y}=0,}

    \displaystyle{v \frac{\partial u}{\partial x} +  u \frac{\partial u}{\partial y}=0.}

    Tenemos un sistema homogéneo de ecuaciones lineales donde las incógnitas son las derivadas parciales de u. El determinante de la matriz de coeficientes viene dado por

    \displaystyle{\det \left ( \begin{array}{cc}u & -v \\v & u \end{array} \right ) = u^2+v^2=c \neq 0,}

    luego la única solución al sistema de ecuaciones es trivial, es decir,

    \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0}

    luego u es constante, y por el apartado (a) se sigue que f es constante.

  14. Isabel dijo:

    Miguel, ¿podría hacer el ejercicio 8 de la relación 2.4? Gracias.

  15. 2.4.8. Utilizar el método de descomposición en fracciones simples para calcular la integral de contorno

    \displaystyle{\int_C \frac{2z^2-15z+30}{z^3-10z^2+32z-32}\,dz,}

    donde C es la circunferencia |z|=3.
    Solución. Aplicando el algoritmo de descomposición en fracciones simples resulta

    \displaystyle{\frac{2z^2-15z+30}{z^3-10z^2+32z-32}=\frac{1}{(z-4)^2}+\frac{2}{z-2},}

    y por lo tanto

    \displaystyle{\int_C\frac{2z^2-15z+30}{z^3-10z^2+32z-32}\,dz =\int_C \frac{dz}{(z-4)^2}+2 \int \frac{dz}{z-2}.}

    Tenemos \displaystyle{\frac{1}{(z-4)^2}= F^\prime (z),} donde \displaystyle{F(z) = -\frac{1}{z-4}} es una función holomorfa y por lo tanto la integral de F^\prime (z) a lo largo de la curva cerrada C se anula. Entonces

    \displaystyle{\int_C \frac{dz}{(z-4)^2}+2 \int_C \frac{dz}{z-2}= \int_C F^\prime (z)\,dz + 2 \cdot 2 \pi i \cdot {\rm Ind}(C,2)=0+4\pi i=4 \pi i. }

    Nota: He utilizado en el cálculo la función índice, que no me dio tiempo a cubrir por el paro académico.

  16. Juan dijo:

    Miguel, ¿nos podrias hacer el ejercicio 2.3.9? es que me quedo pillado en el principio del desarrollo, no sé cómo seguir. Gracias

  17. 2.3.9. Calcular aquellos números complejos z \in \mathbb{C} tales que \cos z = 2.
    Solución. Tenemos \displaystyle{ \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}} luego se trata de resolver la ecuación \displaystyle{ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=2,} es decir, e^{iz}+e^{-iz}=4, o bien (e^{iz})^2-4e^{iz}+1=0, de donde

    \displaystyle{e^{iz}= \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}= 2 \pm \sqrt{3}.}

    Sea z=x+iy. Tenemos e^{-y}e^{ix} = 2 \pm \sqrt{3}, luego x = 2 \pi n para algún n \in \mathbb{Z}, y por otra parte y = - \log (2 \pm \sqrt{3}), de modo que

    z= 2 \pi n - i \log (2 \pm \sqrt{3}),\;\;\; n \in \mathbb{Z}.

    • Javier Gómez dijo:

      Miguel, no entiendo el paso e^{iz} + e^{-iz} = 4 \Rightarrow (e^{iz})^2-4e^{iz}+1=0

      • Javier Gómez dijo:

        Da igual, gracias, ya lo he sacado. Para el que quiera saberlo es simplemente que multiplicamos la ecuación entera por e^{iz} y queda e^{iz} e^{iz} + e^{iz} e^{-iz} = 4e^{iz} \Rightarrow (e^{iz})^2 + 1 = 4e^{iz} \Rightarrow (e^{iz})^2 - 4e^{iz} + 1 = 0

    • Javier Gómez dijo:

      De todas formas, me surge otra duda. Entiendo que e^{-y} e^{ix} = 2 \pm \sqrt(3) \Rightarrow x = 0 + 2 \pi k \, \, \forall k \in \mathbb{Z}, pero podría ser también x = \pi + 2 \pi k \; \; \forall k \in \mathbb{Z}, ¿no? Lo único que importa es que e^{-y} e^{ix} = 2 \pm \sqrt(3), que es un número real, y para eso hay que hacer la parte imaginaria 0, como la parte imaginaria es Im(e^{-y} e^{ix}) = e^{-y}* \sin (x) = 0 y como la exponencial para números reales nunca es 0, sólo cabe pensar \sin (x) = 0, pero esto no pasa solo para x = 2 \pi k, sino también para x = pi + 2 \pi k, que también habría que tener en cuenta, en cuyo caso y = - \log (\pm 2 \pm \sqrt(3), dependiendo de x, por lo que quedaría:

      z = 2 \pi k - i \log (2 \pm \sqrt(3) ) ó z = pi + 2 \pi k - i \log (-2 \pm \sqrt(3) ), \; \; \; \forall k \in \mathbb{Z}

      • Veamos el razonamiento a partir de la igualdad e^{-y}e^{ix}= 2 \pm \sqrt{3}. El número complejo e^{-y}e^{ix} está en forma polar. Su módulo es igual a e^{-y} y su argumento es igual a x. Como se trata del número real 2 \pm \sqrt{3}, se sigue que e^{-y}= 2 \pm \sqrt{3} y que x = 2 \pi k. Se tiene entonces z= x + i y = 2 \pi k + i \log (2 \pm \sqrt{3}).

      • Javier Gómez dijo:

        pero también puede darse x = \pi + 2 \pi k, un número con argumento x = \pi + 2 \p k también es real, porque \sin{pi + 2 \pi k} = 0. La igualdad e^{-y} e^{ix} = 2 \pm \sqrt{3} también se cumple para x = \pi + 2 \pi k \; \; , \; \; -e^{-y} = 2 \pm \sqrt{3}, no sé si me explico

      • El argumento de un número real positivo es un múltiplo entero de 2 \pi.

      • Javier Gómez dijo:

        claro, eso era, no había caído en que -2 \pm \sqrt{3} es negativo, y su logaritmo no existe. Gracias

  18. Javier Gómez dijo:

    Miguel, podrías dar las soluciones del 2.1.9 y 2.1.10? Sobre el 2.1.9 tengo una duda, creo que está mal formulado el ejercicio no? Porque piden demostrar que \sum_{k=0}^n z^k = 0 si z es una raíz n-ésima z\not= 1. He intentado probarlo por inducción, empezando por n=2, pero he obtenido: \displaystyle{sum_{k=0}^2 z^k = 0} \Rightarrow z^0 + z^1 + z^2 = 0 \Rightarrow 1 + z + 1 = 0 \Rightarrow z = -2 lo cual es una contradicción, porque -2^2 \not= 1 ¿Cuál es el problema?

    • Javier,
      Tienes razón. Se me ha colado una errata en el problema 2.1.9. Realmente hay que probar que si z es una raíz n-ésima de la unidad con z \neq 1 entonces \displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}z^k=0.}

      La idea es usar la factorización z^n - 1 = (z-1)(1+z+z^2+ \cdots + z^{n-1}). Si z^n=1 entonces (z-1)(1+z+z^2+ \cdots + z^{n-1})=0 y como z \neq 1 se sigue que 1+z+z^2+ \cdots + z^{n-1}=0.

  19. 2.1.10. Probar la identidad trigonométrica de Lagrange.

    \displaystyle{\sum_{k=0}^n \cos k \theta = \frac{1}{2}+ \frac{\sin (n+1/2) \theta }{2 \sin (\theta/2)}.}

    Solución. Empezamos con la identidad

    \displaystyle{\sum_{k=0}^n z^k = \frac{z^{n+1}-1}{z-1},}

    que como hemos visto antes, es válida si z \neq 1. Si ahora \theta \neq 2 \pi m entonces z=e^{i \theta} \neq 1, luego

    \displaystyle{\sum_{k=0}^n e^{ik\theta}= \frac{e^{i(n+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1}.}

    Tomando la parte real de esta expresión resulta

    \displaystyle{\sum_{k=0}^n \cos k \theta = {\rm Re} \sum_{k=0}^n e^{ik\theta}= {\rm Re} \frac{e^{i(n+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1}= {\rm Re} \frac{(e^{i(n+1)\theta}-1)(e^{-i\theta}-1)}{(e^{i\theta}-1)(e^{-i\theta}-1)}.}

    Ahora bien,

    \displaystyle{{\rm Re} \frac{(e^{i(n+1)\theta}-1)(e^{-i\theta}-1)}{(e^{i\theta}-1)(e^{-i\theta}-1)}= \frac{1-\cos \theta + \cos n \theta - \cos (n+1) \theta }{2(1-\cos \theta)}=}

    \displaystyle{= \frac{1}{2} + \frac{\cos n \theta - \cos (n+1)\theta}{2(1-\cos \theta)},}

    y por lo tanto el problema se reduce a probar que

    \displaystyle{\frac{\cos n \theta - \cos (n+1)\theta}{2(1-\cos \theta)}= \frac{\sin (n+1/2) \theta}{2 \sin (\theta/2)}.}

    Teniendo en cuenta la identidad para la diferencia de cosenos

    \displaystyle{\cos A - \cos B = 2 \sin \left ( \frac{A+B}{2} \right ) \sin \left ( \frac{A-B}{2} \right )}

    resulta

    \displaystyle{\cos n \theta - \cos (n+1)\theta = 2 \sin (n + \frac{1}{2}) \theta \sin \frac{\theta}{2},}

    y como por otra parte

    1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2),

    se deduce el resultado.

  20. Isabel dijo:

    Miguel, ¿este tipo de problemas, me refiero a los dos últimos que ha resuelto, entran en el examen? Es que en las relaciones de problemas hay muchos de demostrar.

  21. Isabel, no entran demostraciones en el examen.

  22. Javier Gómez dijo:

    Miguel, podría dar la solución del ejercicio 2.4.15?

  23. 2.4.15. Calcular una función armónica conjugada en un dominio adecuado para

    \displaystyle{u(x,y)= \frac{x^2+y^2-x}{(x-1)^2+y^2}.}

    Solución. Antes de empezar a calcular ciegamente las derivadas parciales, hay una manipulación algebraica que simplifica drásticamente la solución. Tenemos

    \displaystyle{u(x,y)= \frac{x^2+y^2-x}{(x-1)^2+y^2}= \frac{x^2+y^2-2x+1}{(x-1)^2+y^2}+ \frac{x-1}{(x-1)^2+y^2}}

    \displaystyle{=1+ \frac{x-1}{(x-1)^2+y^2}= {\rm Re}\; 1+ \frac{\overline{z-1}}{|z-1|^2}= {\rm Re} \;1+ \frac{1}{z-1}.}

    Así hemos expresado la función del enunciado como la parte real de una función holomorfa. La parte imaginaria de esta función holomorfa es una función armónica conjugada para la función del enunciado.

    \displaystyle{v(x,y) = {\rm Im} 1+ \frac{1}{z-1} = {\rm Im}\; 1 + \frac{\overline{z-1}}{|z-1|^2}= - \frac{y}{(x-1)^2+y^2}. }

    • Josemi_Wingchun dijo:

      Excelente forma de resolverlo, aunque entiendo que se podría calificar de idea feliz. No obstante, observo que sobra el primer término de la solución; ya que la parte imaginaria de 1 es cero.
      Ya lo he corregido, gracias, Miguel

  24. eva dijo:

    Hola, podrias darme el desarrollo y la solución de la integral:
    (5x^2 -3)/ (x^2 +6X +12)
    Gracias

  25. Eva,
    Como el grado del numerador es igual al grado del denominador, empezamos por hacer la división entera,

    \displaystyle{\frac{5x^2-3}{x^2+6x+12}=5 - \frac{30x+57}{x^2+6x+12},}

    de modo que

    \displaystyle{\int \frac{5x^2-3}{x^2+6x+12}\,dx =5x - \int \frac{30x+63}{x^2+6x+12}\,dx,}

    Tenemos ahora la integral de una función racional propia, es decir, el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Además, el denominador no tiene raíces reales. Ahora procedemos a transformar la integral.

    \displaystyle{\int \frac{30x+63}{x^2+6x+12}\,dx= 15 \int \frac{2x+6}{x^2+6x+12}\,dx - 27 \int \frac{dx}{x^2+6x+12}}

    \displaystyle{= 15 \log (x^2+6x+1) - 3 \int \frac{dx}{x^2+6x+12},}

    de modo que hemos reducido de nuevo el grado y ahora el numerador es constante. A continuación procedemos a completar el cuadrado.

    \displaystyle{\int  \frac{dx}{x^2+6x+12} = \int \frac{dx}{(x+3)^2+3} = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{[(x+3)/\sqrt{3}]^2 +1}=}

    \displaystyle{= \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \left ( \frac{x+3}{\sqrt{3}}\right ).}

    Finalmente, la solución se puede expresar como

    \displaystyle{\int \frac{5x^2-3}{x^2+6x+12} \, dx = 5 x - 15 \log (x^2+6x+12) + 9 \sqrt{3} \arctan   \left ( \frac{x+3}{\sqrt{3}} \right ).}

    Saludos,
    Miguel

  26. Daniel López dijo:

    ¿Los problemas del boletín 2.5 se pueden hacer con la teoría vista en clase? Por cierto, vimos hasta el punto 5 de los apuntes del pdf, ¿no?

  27. Daniel López dijo:

    ¿Podrías hacer el 2.4.4?, más que nada porque no estoy seguro de como seguir el procedimiento.

    • Usamos la estimación

      \displaystyle{\left | \int_C f(z)\,dz  \right | \leq M \ell (C),}

      donde M es una cota superior para |f(z)| cuando z \in C y donde \ell (C)= \text{longitud de arco de C.} Ahora C= \text{semicircunferencia } |z|=1 en el semiplano superior y además |f(z)|=|z^2+3| \leq  |z|^2 + 3 = 4, luego

      \displaystyle{\left | \int_C ( z^2 + 3 )\,dz  \right | \leq 4 \pi.}

      • Isabel dijo:

        Pero Miguel, f(z) no es z^2+3 , es (z^2+3)^-1 no?

      • Isabel, tienes razón, se trata de estimar la integral

        \displaystyle{\int_C \frac{dz}{z^2+3}.}

        Cuando |z|=1 tenemos |z^2+3| \geq 3 - |z|^2 = 2 luego \displaystyle{\left | \frac{1}{z^2+3} \right | \leq \frac{1}{2}} y por lo tanto

        \displaystyle{\left | \int_C \frac{dz}{z^2+3} \right | \leq \frac{\pi}{2}.}

      • Josemi_Wingchun dijo:

        Miguel ¿está mal resuelto así?
        El polo (hace infinita la función, corresponde al cero del denominador) es:
        Z= i √3
        El residuo es:
        lim(z→i√3)⁡〖(z-i√3)/(z-i√3)(z+i√3) =1/(2i√3)〗
        Luego:
        ∮1/(z^2+3) dz=2πi * (1/(2i√3))=π/√3〗=(√3 π)/3

      • JoseMi, se puede calcular la integral usando el teorema de los residuos, pero ten en cuenta que hay otro polo en z=-i \sqrt{3}.

      • Josemi_Wingchun dijo:

        efectivamente, hay otro polo en z= -i √3 pero no lo he tenido en cuenta en el calculo del residuo porque este polo cae fuera de C, ¿es correcto?

      • Ahora que lo pienso, no se puede aplicar el teorema de los residuos porque la semicircunferencia C no es una curva cerrada.

  28. Damián Domínguez dijo:

    Buenas Miguel. ¿Podría resolver el ejercicio 2.4.6? Gracias de antemano.

  29. AntonioAngulo dijo:

    Hola Miguel, podrías hacer el ejercicio 2.3.12. Muchas gracias de antemano.

  30. 2.4.6. Evaluar la integral de contorno

    \displaystyle{\int_C z \sin (z^2) \,dz,}

    donde C es el arco de circunferencia unidad en el primer cuadrante.
    Solución. Sea \displaystyle{F(z)= \frac{\sin (z^2)}{2}.} Tenemos F^\prime (z)= z \sin (z^2). Como C es una curva desde z=1 hasta z=i, se sigue del teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno que

    \displaystyle{\int_C z \sin (z^2) \,dz = \int_C F^\prime (z)\,dz = F(i)-F(1)= \frac{\sin (-1)-\sin (1)}{2} = \sinh (-1).}

    • Javier y Joaquín dijo:

      Miguel, creemos que hay un paso que no está bien. Si F(z) = \frac{\sin (z^2)}{2} \Rightarrow F'(z) = z \cos (z^2) porque aplicando la regla de la cadena, f(z) = g(h(z)) \Rightarrow f'(z) = g'(h(z)) h'(z). Debería ser F(z) = \frac{\cos (z^2)}{2}, es decir:

      \displaystyle{\int_C z \sin (z^2) \, dz = \frac{1}{2} \left[ cos(z^2) \right] ^i _1 =  \frac{1}{2} (\cos (-1) - \cos (1))}

      Como la función coseno es una función par, se cumple que \cos (1) = \cos (-1), por lo que queda \displaystyle{\int_C z \sin (z^2) \, dz = 0

  31. 2.3.12. Sea u \colon A \to \mathbb{R} una función armónica. Probar que

    \displaystyle{f(x+iy)= \frac{\partial u}{\partial x} - i \frac{\partial u}{\partial y}}

    es una función holomorfa.
    Solución. Sabemos que u es armónica, es decir,

    \displaystyle{\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0.}

    Veamos que f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Tenemos

    \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y} \left ( - \frac{\partial u}{\partial y} \right ),}

    y por otra parte

    \displaystyle{\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} =  \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}  = - \frac{\partial}{\partial x} \left ( - \frac{\partial u}{\partial y}  \right ).}

  32. Lucía dijo:

    Miguel, referente a las integrales de contorno y Teorema integral de Cauchy, los problemas que has seleccionado de la relación 2.4 y 2.5 que podemos resolver, ¿sólo entrarían de este tipo en el examen?
    Es decir, los otros ejercicios no debemos saber resolverlos ¿no?

  33. Entran los problemas que se pueden resolver usando la teoría hasta la fórmula integral de Cauchy incluída.

  34. Daniel López dijo:

    ¿Podría resolver el problema 2.5.2 ?

  35. 2.5.2 Sea \gamma la circunferencia |z-i|=2 orientada positivamente. Evaluar las siguientes integrales de contorno:

    \displaystyle{I= \oint_\gamma \frac{dz}{z^2+4}, \;\;\;\;\; J= \oint_\gamma \frac{dz}{(z^2+4)^2}.}

    Solución. Empezamos a partir de la descomposición

    \displaystyle{\frac{1}{z^2+4}= \frac{1}{z^2-(2i)^2}=\frac{1}{(z-2i)(z+2i)}=\frac{1}{2i} \left ( \frac{1}{z-2i} - \frac{1}{z+2i}\right ).}

    Tenemos entonces

    \displaystyle{I= \oint_\gamma \frac{dz}{z^2+4}= \frac{1}{2i} \left ( \oint_\gamma \frac{dz}{z-2i} - \oint_\gamma \frac{dz}{z+2i} \right )= \pi [ {\rm Ind}\,(\gamma, 2i) - {\rm Ind}\,(\gamma, -2i)]=\pi.}

    Ahora buscamos otra descomposición para la segunda integral. Tenemos

    \displaystyle{\frac{1}{(z^2+4)^2}=\frac{1}{(z-2i)^2(z+2i)^2}=\frac{A}{z-2i} + \frac{B}{(z-2i)^2} + \frac{C}{z+2i} + \frac{D}{(z+2i)^2},}

    y por lo tanto

    A(z-2i)(z+2i)^2 + B(z+2i)^2 + C(z-2i)^2(z+2i)+D(z-2i)^2=1.

    Evaluando esta expresión cuando z=2i y cuando z=-2i se obtiene que B=D=1/16. Evaluando de nuevo la expresión cuando z=0 y cuando z=i resulta el sistema de ecuaciones

    \displaystyle{8i A -8iC= \frac{1}{2},}

    \displaystyle{9i A -3iC=\frac{6}{16},}

    y resolviendo este sistema de ecuaciones resulta A=-i/32, C=i/32. Resumiendo, tenemos

    \displaystyle{\frac{1}{(z^2+4)^2}= -\frac{i}{32} \cdot \frac{1}{z-2i} - \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{(z-2i)^2}+ \frac{i}{32} \cdot \frac{1}{z+2i} -\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{(z+2i)^2} }

    y por lo tanto

    \displaystyle{\int_\gamma \frac{dz}{(z^2+4)^2}= -\frac{i}{32} \oint_\gamma \frac{dz}{z-2i} - \frac{1}{16} \oint_\gamma \frac{dz}{(z-2i)^2} + }

    \displaystyle{+ \frac{i}{32} \oint_\gamma \frac{dz}{z+2i} -\frac{1}{16} \oint_\gamma \frac{dz}{(z+2i)^2}. }

    Finalmente tenemos

    \displaystyle{\oint_\gamma \frac{dz}{z-2i} = 2 \pi i {\rm Ind}\,(\gamma,2i)= 2 \pi i,}

    \displaystyle{\oint_\gamma \frac{dz}{z+2i} = 2 \pi i {\rm Ind}\,(\gamma,2i)= 0,}

    y las otras dos integrales se anulan porque la integral de la derivada de una función holomorfa lo largo de una curva cerrada es igual a cero. Recolectando estos cálculos llegamos a la conclusión de que

    \displaystyle{\int_\gamma \frac{dz}{(z^2+4)^2}= -\frac{i}{32} \cdot 2\pi i = \frac{\pi}{16}.}

  36. Lucia dijo:

    ¿Podría hacer el 2.3.3? Gracias

  37. Isabel dijo:

    Miguel,¿ podría hacer el ejercicio 2.4.7?

    • Lucía dijo:

      Yo también tengo duda con este ejercicio ya que, al resolver la integral, queda z^2/2 – log z;
      y la función logaritmo no existe para números negativos (i) ¿cúal sería la solución entonces?

  38. Mariluz dijo:

    duda sobre la analiticidad de las funciones:

    la función |x-iy|^2 es derivable únicamente en (x,y)=(0,0).
    ¿Podría decirme cuál de los dos apartados es el correcto?:
    a)La función es holomorfa en (0,0)
    b)La función es derivable en (0,0) pero no es holomorfa en ningún punto por no haber ningún disco abierto que contenga a (0,0) donde dicha función sea derivable.

    Este ejercicio no está en el boletín pero lo he visto por ahí y me lo he planteado. Gracias.

    • Yo diría que la función no es holomorfa porque su parte imaginaria es constante (e igual a cero) y sin embargo la función no es constante.
      Nota: El apartado (b) da a entender que una función es holomorfa en un punto si existe un disco abierto centrado en el punto donde la función es derivable. Észta no es la definición que nosotros hemos manejado.

      • Mariluz dijo:

        ok. Sí, es cierto que esa definición es del mismo libro en el que estaba planteado este problema y al no ser la de clase quizás eso me haya liado. Entonces, según la definición de clase, es equivalente:
        1) f es holomorfa
        2) (u, v) satisfacen C.R.
        También tengo: ”Se dice que f es holomorfa si f es derivable en z₀ para todo z₀ que se encuentre en A”
        La función cumple C.R en (x,y)=(0,0).
        Según esto, ¿no debería ser f holomorfa en z₀=(0,0)?
        Sin embargo, el razonamiento que Ud ha planteado parece contradecir todo lo anterior y ahora no sé que hacer.
        ¿Podría decirse que en (0,0) es el único punto donde la función es constante (de hecho vale 0) y su parte imaginaria tb? ¿Entonces en ese punto sí sería holomorfa?

    • El apartado (b) es el correcto.

      Una función f=u+iv es holomorfa si y sólo si u,v cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el abierto A

      La función f(x+iy) =| x-iy|^2 se descompone en parte real e imaginaria f=u+iv, de modo que u= | x-iy|^2=x^2+y^2, v=0. Es claro que u,v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann solamente para x=y=0 luego f no es derivable en ningún disco abierto centrado en el origen.

      Sin embargo f es derivable en el origen porque existe

      \displaystyle{f^\prime (0) =\lim_{z \to 0} \frac{|\overline{z}|^2}{z}=\lim_{z \to 0} \frac{\overline{z} z}{z}=\lim_{z \to 0} \overline{z}=0.}

  39. Pablo & Adrián dijo:

    Miguel, nos gustaría que hicieras el ejercicio 2.4.1. Tenemos una duda en el procedimiento y quisieramos verlo desarrollado. Gracias.

  40. Mariluz dijo:

    Me he quedado atascada en el 2.3.7 y no lo he visto resuelto en el foro, le importaría resolverlo?
    Gracias!

    • 2.3.7. Probar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se expresan en forma polar del siguiente modo:

      \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial r}= \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta},\;\;\;\;\; \frac{\partial v}{\partial r}= - \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}.}

      Solución. Supongamos que u,v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es decir,

      \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\;\;\; \frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}.}

      Tenemos x = r \cos \theta,\: y=r \sin \theta. Aplicando la regla de la cadena resulta

      \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial r}+ \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \cos \theta + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \sin \theta = }

      \displaystyle{=-\frac{\partial v}{\partial x} \cdot \sin \theta + \frac{\partial v}{\partial y} \cos \theta.}

      Aplicando de nuevo la regla de la cadena resulta

      \displaystyle{\frac{\partial v}{\partial \theta}=\frac{\partial v}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial v}{\partial x} \cdot (-r\sin \theta) + \frac{\partial v}{\partial y} \cdot (r \cos \theta ) = r \frac{\partial u}{\partial r}. }

      Por otra parte

      \displaystyle{\frac{\partial v}{\partial r}=\frac{\partial v}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial r}+ \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial x} \cdot \cos \theta + \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \sin \theta = }

      \displaystyle{=\frac{\partial u  }{\partial x} \cdot \sin \theta - \frac{\partial u}{\partial y} \cos \theta,}

      y finalmente

      \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial \theta}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot (-r\sin \theta) + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot (r \cos \theta ) = - r \frac{\partial v}{\partial r}. }

  41. Lucía dijo:

    Miguel, ¿podría hacer los ejercicios 9 y 10 de la relación 2.5? Gracias de antemano

  42. 2.5.9. Evaluar la integral de contorno

    \displaystyle{\oint_C {\rm Log}\, (z+3)\,dz,}

    donde C es la circunferencia |z|=2 orientada positivamente.
    Solución. La función f(z)={\rm Log}\,(z+3) es holomorfa en el semiplano abierto \Omega = \{z \in \mathbb{C}: {\rm Re} (z) \geq -3\} y la circunferencia C está contenida en \Omega. Se sigue del teorema integral de Cauchy que

    \displaystyle{\oint_C {\rm Log}\, (z+3)\,dz=0.}

  43. 2.5.10. Evaluar la integral de contorno

    \displaystyle{\oint_\gamma \frac{dz}{z^2-1}\,,}

    donde \gamma es la elipse 4x^2+y^2=100 orientada positivamente.
    Solución. Tenemos la descomposición en fracciones simples

    \displaystyle{\frac{1}{z^2-1}=\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+1} \right ).}

    Observemos que los puntos z=\pm 1 están en el interior de la región acotada por la elipse \gamma. Se sigue entonces que

    \displaystyle{\oint_\gamma \frac{dz}{z^2-1}= \frac{1}{2} \left ( \oint_\gamma \frac{dz}{z-1} -\oint_\gamma \frac{dz}{z+1} \right )= }

    \displaystyle{=\frac{1}{2}[ 2 \pi i {\rm Ind}\,(\gamma, 1) - 2 \pi i {\rm Ind}\,(\gamma, -1)]= \frac{1}{2} [2\pi i - 2\pi i]=0.}

  44. Miguel, se que has dicho en varias ocasiones que no entran ni demostraciones ni topología en el plano, y que lo ultimo de teoría que entra es en la integral de Cauchy, pero, la función indice que no hemos dado, la usas en varias ocasiones. ¿Deberíamos saberlas usar?

  45. La fórmula integral de Cauchy la explicó Victoria cuando estuve en Grecia, supongo que utilizaría la función índice.

  46. Antonio de la Lama dijo:

    Hola Miguel,
    estamos haciendo los problemas de la hoja 4 y tenemos una duda con el 2.4.4, hemos estado mirando la solución que hay en el blog y tenemos una duda, no entendemos el paso de la desigualdad |z^2 + 3| >= 3 – |z|^2 , ¿podemos quitar el modulo de z del denominador para que quede acotado por pi/3?

  47. Como 3 = (z^2+3) - z^2 se sigue que 3 \leq |z^2+3|+|z^2| luego |z^2+3| \geq 3-|z^2|=3-|z|^2. Espero que esto aclare tu duda.

  48. Daniel López dijo:

    Miguel tengo una duda respecto a las integrales en las que te definen la curva. A la hora de parametrizar, ¿cómo lo hacemos, según veamos nosotros que nos es más favorable? Y respecto a cómo obtener los límites de integración de la integral con el cambio de parámetros, ¿cómo los obtenemos?, porque he visto algún ejercicio por ahí en el que te decía que gamma era una curva de parábola y=x^2, desde 0 hasta 1+i, y luego cuando cambiaba los parámetros, los límites de integración eran 0<=t<=1 y no comprendo bien como lo hace.
    Si pudieses poner un ejemplo para entenderlo mejor te lo agradecería muchísimo.

    Un saludo y gracias de antemano.

  49. Rubén dijo:

    Miguel, hemos estado haciendo el ejercicio 1.b) del examen del año pasado (http://personal.us.es/lacruz/Curso0809/Examenes/2parcial.pdf) y, usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, hemos estado mas de una hora para sacarlo, a base de derivar y etc. ¿Hay alguna forma sencilla de hacerlo? Porque en un examen no es plan de tirarse una hora para un apartado…

  50. Vicente GT dijo:

    En referencia a ese mismo examen ¿podría hacer el primer apartado del ejercicio 2?
    (http://personal.us.es/lacruz/Curso0809/Examenes/2parcial.pdf)

    • Vicente GT dijo:

      En relación también al examen del año pasado, a que se refiere en el apartado 1c con que especifiquemos una región.

      Por ejemplo para u1, me sale v1 = 2*x*y – y -2*x + C, cual seria la región que he de especificar ahí.

  51. Antonio de la Lama dijo:

    Hola Miguel, podrias hacer el ejercicio 2.4.7?, un saludo y gracias

  52. @Ruben, se trata de calcular el dominio donde es holomorfa la función

    \displaystyle{f(x+iy)=\frac{x-iy}{x^2-iy}=\frac{(x-iy)(x^2+iy)}{(x^2-iy)(x^2+iy)}= \frac{x^3+y^3}{x^4+y^2}+i  \frac{xy-x^2y}{x^4+y^2}.}

    Hay que imponer las condiciones de Cauchy-Riemann a las funciones

    \displaystyle{u(x,y)=\frac{x^3+y^3}{x^4+y^2}, \;\;\; v(x,y)=\frac{xy-x^2y}{x^4+y^2}.}

    Tenemos

    \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x}= -\frac{x^2(x^4+4xy^3-3y^2)}{(x^4+y^2)^2}, \;\;\; \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{(x-1)x(x^4-y^2)}{(x^4+y^2)^2},}

    \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial y}= \frac{y (3x^4y-2x^3+y^3)}{(x^4+y^2)^2}, \;\;\; \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{y(2x^5-3x^4-2xy^2+y^2)}{(x^4+y^2)^2},}

    y comparando estas expresiones resulta el sistema de ecuaciones algebraicas

    x(x^4+4xy^3-3y^2)=(x-1)(x^4-y^2),

    3x^4y-2x^3+y^3= -2x^5+3x^4+2xy^2-y^2.

    Aquí tienes una representación gráfica del conjunto de soluciones, que se reduce a tres puntos. No sé una forma más sencilla de abordar el problema.
    conjunto de soluciones

  53. @Vicente, se trata de calcular la siguiente integral de contorno, donde la curva C es la circunferencia |z|=1 orientada positivamente:

    \displaystyle{\oint \frac{dz}{2z^2+3z-2}.}

    Tenemos la factorización 2z^2+3z-2 = (z+2)(2z-1), de donde se deduce la descomposición en fracciones simples

    \displaystyle{\frac{1}{2z^2+3z-2}= \frac{1}{5(z-1/2)} -\frac{1}{5(z+2)}.}

    Ahora se sigue que

    \displaystyle{\oint_C \frac{dz}{2z^2+3z-2} = \frac{1}{5} \oint_C \frac{dz}{z-1/2} -\frac{1}{5} \oint \frac{dz}{z+2}=}

    \displaystyle{ \frac{1}{5} \cdot 2 \pi i \cdot {\rm Ind}\,(C, 1/2)-  \frac{1}{5} \cdot 2 \pi i \cdot {\rm Ind}\,(C, -2). }

    Ahora bien, {\rm Ind}\,(C, 1/2)=1, {\rm Ind}\,(C, -2)=0 y podemos concluir que

    \displaystyle{\oint \frac{dz}{2z^2+3z-2}= \frac{2 \pi}{5} i.}

  54. 2.4.7. Evaluar la integral de contorno

    \displaystyle{\int_C \left ( z - \frac{1}{z} \right ) \,dz,}

    donde C es el segmento desde z=1 hasta z=i.
    Solución. Sea \displaystyle{F(z)= \frac{z^2}{2} - {\rm Log}\, z.} Observemos que \displaystyle{F^\prime (z) = z - \frac{1}{z}} luego

    \displaystyle{\int_C \left ( z - \frac{1}{z} \right ) \,dz= \int_C F^\prime (z)\,dz = F(i)-F(1)= }

    \displaystyle{= \left (\frac{i^2}{2} - {\rm Log}\, i \right )- \left (\frac{1}{2} - {\rm Log}\, 1 \right )= -1 - {\rm Log}\, i = -1 - i \frac{\pi}{2}.}

  55. José Carlos Díaz Bermúdez dijo:

    Miguel, aquí te dejo el enlace donde puedes ver los exámenes:
    http://goo.gl/bheJv

  56. José Carlos, gracias por el enlace. El examen es entonces el día 27 de junio a las 9:30 en el Aula Magna.

  57. Pedro Hernández dijo:

    Miguel una pregunta, si me presento a subir nota, ¿me tendría que presentar a las dos partes o solamente me tendría que presentar a la parte que tengo que subir nota?
    Muchas gracias de antemano y saludos. También enhorabuena por el blog, me está sirviendo para mucho, sobre todo para análisis matemático.

  58. eva dijo:

    Hola, como se resuleven las ecuaciones cúbicas? , en concreto esta:
    (-X^3 +2x^2 -x +4) / (2-x)
    Gracias!

  59. JOSE CARLOS dijo:

    Miguel, una pregunta,en el examen del día 27,¿entra hasta la fórmula integral de Cauchy,no? pero de los temas anteriores,¿ entran la covarianza y la correlación y las distribuciones del apartado 4?
    El examen es un tipo como el del día 8, básicamente problemas?
    Gracias

    • José Carlos,
      Entra hasta la fórmula integral de Cauchy en la parte de Análisis Complejo, y en la parte de probabilidad no entra la covarianza, correlación, ni las distribuciones especiales. El examen sólo es de problemas.
      Miguel

  60. Antonio Lopez Angulo dijo:

    Miguel, una duda muy tonta, pero que me he quedado bloqueado: Como puedo representar en el diagrama de Argand lo siguiente: $|z-a|=|z-b|$

  61. Antonio Lopez Angulo dijo:

    Cierto, muchas gracias Miguel.

  62. Andrés dijo:

    Profesor, disculpe, creo que no es justo que para subir nota haya que presentarse a las dos partes ya que alguien que haya suspendido la segunda parte, por ejemplo, solo tendría que presentarse a ese examen y el resultado le haría media con la nota del primer examen igual que si hubiera sacado esa nota en el del día 8, mientras que otro que haya aprobado para subir nota tendría que hacer bien las dos partes. Teniendo así que el que haya aprobado lo tiene más difícil que el que no. Yo no le veo sentido.
    Andrés

    • Andrés,
      Quien haya aprobado los parciales se puede presentar a subir nota sin arriesgarse a bajar. Quien tenga una parte pendiente corre el riesgo de suspender y tener que ir en septiembre con toda la asignatura.
      Miguel

  63. eva dijo:

    Hola,
    – como se resuelve esta integral por partes?
    ln^3 (X)/ x^2

    – y esta otra racional?
    4/ (x^2 + 3)

    – y otra pregunta:
    esta ecuación : 4x^2 -20x + 25 factorizada es: 4*(x-5)^2 porque hay que mutiplicar por 4 los factores??

    Muchas Gracias!

  64. Eva,
    Se trata de calcular la integral \displaystyle{\int \frac{\log^3 x}{x^2}}. Tomando

    \displaystyle{u = \log^3 x, \;\;\; dv = \frac{dx}{x^2},}

    \displaystyle{du= \frac{3 \log^2 x}{x}\,dx, \;\;\; v = -\frac{1}{x},}

    y aplicando la fórmula de integración por partes resulta

    \displaystyle{\int \frac{\log^3 x}{x^2} \,dx = - \frac{\log^3 x}{x} + 3 \int \frac{\log^2 x }{x^2}\,dx.}

    Tomando ahora

    \displaystyle{u = \log^2 x, \;\;\; dv = \frac{dx}{x^2},}

    \displaystyle{du= \frac{2 \log x}{x}\,dx, \;\;\; v = -\frac{1}{x},}

    y aplicando de nuevo la fórmula de integración por partes resulta

    \displaystyle{\int \frac{\log^2 x}{x^2} \,dx = - \frac{\log^2 x}{x} + 2 \int \frac{\log x }{x^2}\,dx.}

    Finalmente, tomando

    \displaystyle{u = \log x, \;\;\; dv = \frac{dx}{x^2},}

    \displaystyle{du= \frac{1}{x}\,dx, \;\;\; v = -\frac{1}{x},}

    y aplicando por tercera vez la fórmula de integración por partes resulta

    \displaystyle{\int \frac{\log x}{x^2} \,dx = - \frac{\log x}{x} +  \int dx = - \frac{\log x}{x} + x.}

    Recopilando estos cálculos se obtiene

    \displaystyle{\int \frac{\log^3 x}{x^2}\,dx = -\frac{\log^3 x}{x} - 3 \frac{\log^2 x}{x}- 6 \frac{\log x}{x} + 6x.}

    Miguel

  65. Eva,
    La segunda integral se calcula mediante las siguientes manipulaciones.

    \displaystyle{ \int \frac{4}{x^2+3}\,dx = 4 \int \frac{dx}{x^2+3} = \frac{4}{3} \int \frac{dx}{(x/\sqrt{3})^2 + 1}= }

    \displaystyle{ = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \int  \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot\frac{dx}{(x/\sqrt{3})^2 + 1} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}}.}

    Miguel

  66. Eva,
    No comprendo tu tercera pregunta, porque 4(x-5)^2 \neq 4x^2-20x+25.
    Miguel

  67. eva dijo:

    Hola, muchas gracias por la resolución de las integrales! en cuanto a la tercera pregunta había calculado mal las raíces…
    Saludos

  68. eva dijo:

    Hola, como se calculan estas 2 integrales?
    1. 4/(x^2 +3)^2
    2. 1/ (2senx – cosx + 5)
    Gracias

  69. eva dijo:

    hola, funciona ahora el foro?

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