El teorema fundamental del álgebra

Teorema (Gauss, 1799). Todo polinomio no constante con coeficientes complejos posee al menos una raíz compleja.

Demostración. Sea p(z)=a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1z+a_0 un polinomio de grado n \geq 1 con coeficientes complejos. La demostración se basa en la observación de que un punto z_0 \in \mathbb{C} tal que f(z_0)=0 tiene la propiedad de que f alcanza su módulo mínimo en z_0. Veremos primero que efectivamente f alcanza su módulo mínimo en el plano complejo. Empezamos poniendo, para z \neq 0,

\displaystyle{f(z)=z^n \left (1+ \frac{a_{n-1}}{z} + \cdots + \frac{a_0}{z^n} \right ),}

de modo que

\displaystyle{|f(z|)=|z|^n \cdot \left | 1+ \frac{a_{n-1}}{z} + \cdots + \frac{a_0}{z^n} \right |,}

Pongamos

M = \max \{1, 2n |a_{n-1}|, \ldots , 2n |a_0| \}.

Entonces, para todo z con |z| \geq M tenemos |z^k| \geq |z|\; y

\displaystyle{\frac{|a_{n-k}|}{|z^k|} \leq \frac{|a_{n-k}|}{|z|} \leq \frac{|a_{n-k}|}{2n|a_{n-k}|}=\frac{1}{2n},}

de modo que

\displaystyle{\left | \frac{a_{n-1}}{z} + \cdots + \frac{a_0}{z^n} \right | \leq \left | \frac{a_{n-1}}{z} \right | + \cdots + \left | \frac{a_0}{z^n}  \right | \leq \frac{1}{2},}

lo cual implica que

\displaystyle{\left | 1+ \frac{a_{n-1}}{z} + \cdots + \frac{a_0}{z^n} \right | \geq 1- \left | \frac{a_{n-1}}{z} + \cdots + \frac{a_0}{z^n} \right | \geq \frac{1}{2}.}

Esto significa que

\displaystyle{|f(z)| \geq \frac{|z|^n}{2}} para |z| \geq M.

En particular, si |z| \geq M y también |z| \geq \sqrt[n]{2|f(0)|} entonces

|f(z)| \geq |f(0)|.

Ahora consideramos el conjunto cerrado y acotado

K=\{z \in \mathbb{C}: |z| \leq \max (M, \sqrt[n]{2|f(0)|}) \}.

Supongamos que el módulo mínimo de f sobre K se alcanza en un cierto z_0 \in K, de modo que

|f(z_0) | \leq |f(z)| para todo z \in K.

Se sigue, en particular, que |f(z_0)| \leq |f(0)|. Así pues,

si |z| \geq \max (M, \sqrt[n]{2|f(0)|}) entonces |f(z)| \geq |f(0)| \geq |f(z_0)|.

Combinando las anteriores desigualdades concluimos que |f(z_0)| \leq |f(z)| para todo z \in \mathbb{C}, de modo que f alcanza su módulo mínimo sobre el plano complejo en z_0.

Para completar la demostración del teorema, ahora demostramos que f(z_0)=0. Resulta conveniente introducir la función g definida mediante

g(z)=f(z+z_0).

Entonces g es una función polifónica de grado n que alcanza su módulo mínimo en 0. Queremos probar que g(0)=0. Supongamos que, por el contrario, g(0) \neq 0. Sea m la menor potencia de z que aparece en la expresión de g(z), de modo que

g(z)= \alpha + \beta z^m + c_{m+1}z^{m+1} + \cdots + c_n z^n,

donde \beta \neq 0. Ahora bien, todo número complejo no nulo tiene m raíces m-ésimas, y por lo tanto existe \gamma \in \mathbb{C} tal que

\displaystyle{\gamma^n = -\frac{\alpha}{\beta}.}

Poniendo entonces d_k=\gamma^kc_k tenemos

|g(\gamma z)|= |\alpha + \beta \gamma^m z^m + d_{m+1}z^{m+1} + \cdots + d_n z^n|

\displaystyle{= |\alpha - \alpha z^m + d_{m+1}z^{m+1} + \cdots |}

\displaystyle{= \left | \alpha \left (1-z^m+  \frac{d_{m+1}}{\alpha} z^{m+1} + \cdots  \right ) \right |}

\displaystyle{= \left | \alpha \left (1-z^m+ z^m \left [ \frac{d_{m+1}}{\alpha}z + \cdots \right ] \right ) \right |}

\displaystyle{=|\alpha| \cdot \left |  1-z^m+ z^m \left [ \frac{d_{m+1}}{\alpha}z + \cdots \right ]\right |.}

Esta expresión nos permitirá llegar rápidamente a una contradicción. Observamos primero que, eligiendo |z| suficientemente pequeño, tenemos

\displaystyle{\left | \frac{d_{m+1}}{\alpha}z + \cdots  \right | <1.}

Si elegimos, entre todos los z para los que se verifica esta desigualdad, algún z real y positivo, entonces

\displaystyle{\left | z^m \left [ \frac{d_{m+1}}{\alpha}z + \cdots  \right ] \right | <|z^m|=z^m.}

En consecuencia, si 0 < z < 1 entonces

\displaystyle{\left |  1-z^m+ z^m \left [ \frac{d_{m+1}}{\alpha}z + \cdots \right ] \leq \right |}

\displaystyle{\leq |1-z^m| + \left | z^m \left [ \frac{d_{m+1}}{\alpha}z + \cdots \right ]  \right |=}

\displaystyle{= 1-z^m + \left | z^m \left [ \frac{d_{m+1}}{\alpha}z + \cdots \right ]  \right | <}

\displaystyle{<1-z^m+z^m=1.}

La contradicción ha llegado. Para tal número z tenemos

|g(\gamma z)| < |\alpha|,

lo cual contradice el hecho de ser |\alpha| el módulo mínimo de g sobre el plano complejo. Por lo tanto, la suposición original debe ser incorrecta y g(0)=0. Esto implica que f(z_0)=0.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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9 respuestas a El teorema fundamental del álgebra

  1. Interesante tema,tu blog es muy agradable

  2. Gracias por compartir felicidades por tu blog

  3. Muchas gracias por vuestros amables comentarios.

  4. bruno dijo:

    hay algo mas mas facil asi con limite ………. ????? o solo por contradiccion -??? puede ser ??

  5. César dijo:

    Esta demostración me recuerda la dada por M. Spivak en Calculus, Puede ser?

  6. Luis dijo:

    Acá se aplica el teorema de liouville?

    • El teorema fundamental del álgebra se puede obtener fácilmente a partir del teorema de Liouville, pero como ves en este post no es necesario recurrir a ello.

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