La integral gaussiana

La integral gaussiana, que toma su nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss, viene dada por la expresión

\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx= \sqrt{\pi}.}

El cálculo de esta integral tiene una gran importancia en teoría de probabilidad porque representa la masa de la distribución normal. La integral gasussiana tiene muchas más aplicaciones, por ejemplo, en la teoría cuántica de campos.

Aunque el integrando no admite una primitiva expresable en términos elementales, hay varias formas de calcular la integral gaussiana que evitan la regla de Barrow.

Veamos a continuación un método de cálculo. Poniendo G=\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx} resulta que

\displaystyle{G^2= \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx \right ) \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy \right )=  \int_{-\infty}^\infty \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx \right ) e^{-y^2}dy}

\displaystyle{= \int_{-\infty}^\infty \left (  \int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dx \right ) dy = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}dx dy,}

donde la última igualdad entre una integral iterada y una integral doble se cumple gracias al teorema de Fubini. Ahora hacemos un cambio de variable en la integral doble usando coordenadas polares x=r \cos \theta, y= r \sin \theta. Un sencillo cálculo con derivadas indica que el determinante jacobiano de esta transformación viene dado por la expresión

\displaystyle{\frac{\partial(x,y)}{\partial (r, \theta)}=r.}

Aplicando el teorema del cambio de variable en la integral doble resulta que

\displaystyle{\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}dx dy=\int_0^{2\pi} \int_0^\infty r e^{-r^2}drd\theta}=2\pi \int_0^\infty r e^{-r^2}dr.

Esta última integral es inmediata y se puede calcular usando la regla de Barrow,

\displaystyle{\int_0^\infty r e^{-r^2}dr= \left . -\frac{1}{2} e^{-r^2} \right |_{r=0}^{r =\infty}=\frac{1}{2}.}

Combinando las expresiones anteriores llegamos a la conclusión de que G^2=\pi, es decir, que G=\sqrt{\pi}, como queríamos demostrar.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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