La distribución normal

Se dice que una variable aleatoria continua X obedece a una distribución normal de parámetros \mu,  \sigma y se denota X \in N(\mu, \sigma) si su función de densidad de probabilidad viene dada por la expresión

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left [ - \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right ].}


Observemos que f(x) \geq 0 para todo x \in \mathbb{R}. Además, practicando el cambio de variable

\displaystyle{y=\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}, \;\;\; dy=\frac{dx}{\sigma \sqrt{2}}}

resulta que

\displaystyle{  \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty  \exp \left [ - \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right ] dx = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^\infty\exp(-y^2)\,dy=1}

porque según este post, la integral gaussiana viene dada por la expresión

\displaystyle{  \int_{-\infty}^\infty\exp(-y^2)dy= \sqrt{\pi}.}

Calculemos ahora la función generadora de momentos. Tenemos

\displaystyle{  \psi(t)= \mathbb{E}(e^{tX})=\int_{-\infty}^\infty e^{tx}f(x)dx= \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \exp \left [ tx- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right ]\,dx}

Completando el cuadrado en la expresión entre corchetes resulta

\displaystyle{tx -  \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} = \mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t^2 - \frac{[x-(\mu + \sigma^2t)]^2}{2 \sigma^2},}

y de aquí se deduce que

\displaystyle{\psi(t)= C \exp \left ( \mu t + \frac{1}{2} \sigma^2t^2 \right),}

donde

\displaystyle{C=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \exp \left \{ -  \frac{[x-(\mu + \sigma^2t)]^2}{2 \sigma^2}\right \}dx=1.}

Resumiendo, la función generadora de momentos de una distribución normal de parámetros \mu,\sigma viene dada por la expresión

\displaystyle{\psi(t)=  \exp \left ( \mu t + \frac{1}{2} \sigma^2t^2 \right).}

Ahora calculamos las dos primeras derivadas de la función generadora de momentos.

\displaystyle{\psi^\prime(t)= (\mu + \sigma^2 t) \exp \left ( \mu t + \frac{1}{2} \sigma^2t^2 \right),}

\displaystyle{\psi^{\prime \prime} (t)= [ \sigma^2 + (\mu + \sigma^2 t)^2 ] \exp \left ( \mu t + \frac{1}{2} \sigma^2t^2 \right).}

Finalmente, los momentos de X respecto al origen vienen dados por \mathbb{E}(X^k)= \psi^{(k)}(0) y por lo tanto \mathbb{E}(X)=\psi^\prime(0)=\mu, \;\;\; \mathbb{E}(X^2)= \psi^{\prime \prime}(0)=\sigma^2+\mu^2. Además, la varianza de X viene dada por {\rm Var}(X)= \mathbb{E}(X^2)- \mathbb{E}(X)^2=\sigma^2+\mu^2-\mu^2=\sigma^2.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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Una respuesta a La distribución normal

  1. Diego Villada dijo:

    Muchas Gracias ha sido de gran ayuda para mis clases

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