Foro del cálculo de probabilidades

Este post tiene por objeto abrir un foro en los comentarios para el debate de cuestiones relacionadas con el cálculo de probabilidades. Se pueden descargar los apuntes en este enlace y las relaciones de problemas en este otro enlace.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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45 respuestas a Foro del cálculo de probabilidades

  1. Pingback: Enlaces yuriesféricos del 05/03/2012 | La Yuriesfera

  2. Alejandro me ha enviado correo electrónico con el siguiente problema.

    Una baraja de 52 cartas contiene 12 figuras. Supongamos que se barajan las cartas y se reparten entre cuatro jugadores de modo que cada jugador recibe 13 cartas. Calcular la probabilidad de que cada jugador reciba 3 figuras.

    El número de casos posibles, es decir, el número de manos de 13 cartas para cada jugador de una baraja de 52 cartas, obedece una distribución multinomial y viene dado por

    \displaystyle{N_{{\rm pos}}=\frac{52!}{13!13!13!13!}=53644737765488792839237440000.}

    El número de casos favorables es igual al número de formas de repartir 3 figuras a cada jugador de un total de 12 figuras multiplicado por el número de formas de repartir 10 números a cada jugador de un total de 40 números y por lo tanto también obedece una distribución multinomial, es decir,

    \displaystyle{N_{{\rm fav}}=\frac{12!}{3!3!3!3!} \cdot \frac{40!}{10!10!10!10!}=1739101377948791556091392000.}

    La solución entonces viene dada por

    \displaystyle{P=\frac{N_{{\rm fav}}}{N_{{\rm pos}}}=\frac{1739101377948791556091392000}{53644737765488792839237440000}=\frac{257330216}{7937669495} \simeq 0.0324}

  3. wister512 dijo:

    Miguel, tenemos cierta incertidumbre acerca de los problemas 25,26 y 27. El 25 sabemos que lo hemos hecho en clase, pero no nos queda claro porque se realiza de esa forma.
    Esperamos respuesta lo antes posible,

    Gracias.

    J. Faneca & P. Nogales

  4. 25. Un inspector de calidad tiene 10 líneas de montaje a su servicio para chequear productos. Cada mañana de la semana de trabajo selecciona al azar una de las líneas para trabajar. Halla la probabilidad de que una línea sea elegida más de una vez a la semana.
    Solución. Sea p= probabilidad de que una línea sea elegida más de una vez a la semana. Calculamos la probabilidad del suceso contrario, es decir, 1- p= probabilidad de que las líneas elegidas sean distintas. El número de casos posibles es igual al número de selecciones con reemplazamiento de las 10 líneas de montaje, es decir, N_{{\rm pos}}=10^7. El número de casos favorables es igual al número de permutaciones de 10 elementos tomados de 7 en 7, es decir, \displaystyle{N_{{\rm fav}}=\frac{10!}{3!}}. Así pues,

    \displaystyle{1-p= \frac{N_{{\rm fav}}}{N_{{\rm pos}}}=\frac{10!}{3!10^7}=\frac{189}{3125} = 0.060480,}

    y por lo tanto p=0.93952.

  5. 26. Tenemos tres bolas de colores rojo, azul y blanco, respectivamente, y tres cajas cada una de un color. Si metemos al azar una bola en cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las bolas está metida en la caja con su color? ¿cuál es la probabilidad de que exactamente una esté en su color?
    Solución. Supongamos que las cajas están dispuestas en el orden rojo, azul y blanco. El espacio muestral está formado por las posibles ordenaciones de las bolas, es decir,

    R, A , B

    R, B, A

    A, R, B

    A, B, R

    B, A, R

    B, R, A

    Los siguientes casos contemplan las posibilidades de que ninguna bola esté metida en la caja de su color: A, B, R y B, R, A. Conclusión: La probabilidad de que ninguna bola esté metida en la caja de su color es igual a 1/3.
    Los siguientes casos contemplan las posibilidades de que exactamente una bola esté en la caja de su color: R, B, A,   A, R, B, y B, A, R. Conclusión: La probabilidad de que exactamente una esté en la caja de su color es igual a 1/2.

  6. 27. Cuatro clientes dejan sus abrigos en el guardarropa al llegar a un restaurante. Cuando se van, los abrigos les son devueltos al azar. Calcular la probabilidad de que ningún cliente reciba su propio abrigo.
    Este problema es muy parecido al anterior. En lugar de bolas y cajas tenemos abrigos y clientes. Suponemos que los clientes van a recoger sus abrigos un orden determinado, digamos 1,2,3,4. El espacio muestral consta de 24 elementos, que son las posibles ordenaciones de los abrigos, es decir,

    1,2,3,4

    1,2,4,3

    1,3,2,4

    1,3,4,2

    1,4,2,3

    1,4,3,2

    2,1,3,4

    2,1,4,3

    2,3,1,4

    2,3,4,1

    2,4,1,3

    2,4,3,1

    3,1,2,4

    3,1,4,2

    3,2,1,4

    3,2,4,1

    3,4,1,2

    3,4,2,1

    4,1,2,3

    4,1,3,2

    4,2,1,3

    4,2,3,1

    4,3,1,2

    4,3,2,1

    Los siguientes casos contemplan las posibilidades de que ningún cliente reciba su propio abrigo: 2,1,4,3,   2,3,4,1   2,4,1,3   3,1,4,2,   3,4,1,2,   3,4,2,1,   4,1,2,3,   4,3,1,2,   4,3,2,1. Hay un total de nueve casos. Conclusión: La probabilidad de que ningún cliente reciba su propio abrigo es igual a 3/8.

  7. Daniel López dijo:

    Miguel, tengo dificultades con el problema nº 10 y con el 12.
    Del 10 la cosa es que no estoy seguro de como considerar los sucesos, si compatibles, incompatibles o no sé…
    Y el 12 es que directamente no comprendo por qué se realiza así.

    Daniel López.

    • Daniel, te contesto al problema nº10 en el siguiente comentario.
      El problema nº12 se resolvió en clase y se trata simplemente de calcular el área de los conjuntos dados.

  8. 10. Consideramos dos sucesos A, B tales que P (A) = 0.4 y P (B) = 0.7. Calcular los valores máximo y mínimo que puede alcanzar la probabilidad del suceso A \cap B y describir las circunstancias en que se alcanzan estos valores.

    Solución. Tenemos A \cap B \subseteq A luego P(A \cap B) \leq P(A)=0.4. El valor máximo de P(A \cap B) es por lo tanto igual a 0.4 y se alcanza cuando A \cap B= A, es decir, cuando A \subseteq B.

    También tenemos P(A \cup B) + P(A \cap B)=P(A)+P(B)=1.1 luego P(A \cap B) es mínimo cuando P(A \cup B) es máximo. El valor mínimo de P(A \cap B) por lo tanto se alcanza cuando A \cup B=S, y en tal caso tenemos P(S) + P(A \cap B)=1.1, es decir, P(A \cap B)=1.1-P(S)=0.1.

  9. Daniel López dijo:

    Miguel, de los apuntes, el problema 3 del apartado de los coeficientes multinomiables me está ocasionando problemas. ¿Podría resolverlo?

    Gracias de antemano.

    Daniel López

    • Daniel,
      El problema 3 se refiere a un experimento que consiste en lanzar un dado dos veces. Esto no tiene nada que ver con los coeficientes multinomiales. ¿Estás seguro de que te refieres a este problema?
      Miguel

      • Daniel López dijo:

        No es el de los dados, es el de las letras para formar la palabra statistics o algo así, y creo que no, que no es con coeficientes multinomiales, si no con permutaciones y combinatorias, y creo haberlo resuelto.

  10. Sergio Díaz dijo:

    Hola Miguel:
    Tengo problemas con el ejercicio 38 y me gustaría que lo resolvieras porque no me queda nada claro.
    Gracias de antemano

    Sergio Díaz

    • 38. Se tienen cinco motores y uno de ellos es defectuoso. Dos motores se eligen al azar para ser usados. Encuentra la probabilidad de que el segundo motor seleccionado funcione adecuadamente, sabiendo que el primero funciona correctamente.

      Solución. Si el primer motor seleccionado funciona correctamente entonces en la segunda selección hay tres motores que funcionan correctamente y uno defectuoso, luego la probabilidad de que el segundo motor seleccionado funcione correctamente es igual a 3/4.

    • Sergio,
      He supuesto que se realiza muestreo sin reemplazamiento.
      Miguel

  11. miguel camacho dijo:

    Miguel en el ejercicio del segundo boletin de problemas 13 al derivar la funcion de distribución para obtener la funcion de densidad no obtenemos que su integral sea uno en todo el intervalo desde menos infinito a infinito.
    Muchas gracias
    Miguel Camacho y Joaquin Faneca

    • Consideramos la función definida mediante

      \displaystyle{ F(x)= \left \{ \begin{array}{ll} 		0    & \text{si  } x<0, \\ 		x+ \frac{1}{2}   & \text{si } 0\leq x \leq \frac{1}{2}\\   		1 & \text{si } x \geq \frac{1}{2}. 		\end{array} \right .}

      Tenemos que F es no decreciente, \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}F(x)=0} y \displaystyle{\lim_{x \to \infty}F(x)=1,} luego F es la función de distribución de una variable aleatoria X. Además, F presenta una discontinuidad de salto en el origen, luego X no es de tipo continuo y no tiene sentido hablar de su función de densidad de probabilidad.

  12. miguel camacho dijo:

    Y podrias hacer tambien el ejercicio 39 por favor

  13. 1.2.39. Una variable aleatoria X de tipo continuo obedece una distribución de Laplace si su función de densidad de probabilidad es de la forma

    f(x)=ke^{-\lambda|x|}.

    1. Calcular el valor de \lambda.
    2. Calcular la función de distribución acumulada de X.
    3. Calcular la media y la varianza de X.

    Solución. Primero imponemos la condición k > 0 para que la función de densidad de probabilidad sea no negativa. A continuación imponemos la condición de normalización

    \displaystyle{1=\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^\infty ke^{-\lambda |x|} \,dx= 2k \int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda x} \,dx= 2k \left [ \frac{e^{-\lambda x}}{\lambda} \right ]_{x=\infty}^{x=0}=\frac{2k}{\lambda},}

    de donde se deduce que \lambda=2k.

    La función de distribución acumulada viene dada por la expresión

    \displaystyle{F(x)=\mathbb{E}(X \leq x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt.}

    Cuando x <0 tenemos

    \displaystyle{\int_{-\infty}^x f(t)\,dt=\int_{-\infty}^x k e^{2kt}\,dt= k \left [ \frac{e^{2kt}}{2k} \right ]_{t=-\infty}^{t=x}=\frac{e^{2kx}}{2}.}

    Cuando x > 0 tenemos

    \displaystyle{\int_{-\infty}^x f(t)\,dt=\int_{-\infty}^0 k e^{2kt}\,dt + \int_0^x k e^{-2kt}\,dt= \frac{1}{2} + k \left [ \frac{e^{-2kt}}{2k} \right ]_{t=x}^{t=0}=1-\frac{e^{-2kx}}{2}.}

    Resumiendo, la función de distribución acumulada viene dada por la expresión

    \displaystyle{F(x)= \left \{ \begin{array}{rl} e^{2kx}/2, & \text{si } x \leq 0,\\                                                      1- e^{-2kx}/2, & \text{si } x > 0.                                    \end{array} \right.}

    A continuación calculamos la media y la varianza de X. Observemos que la función de densidad de probabilidad es una función par, es decir, f(-x)=f(x), y por lo tanto

    \displaystyle{\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx=0.}

    \displaystyle{\mathbb{E}(X^2)=\int_{-\infty}^\infty x^2f(x)dx=2 k \int_0^\infty x^2 e^{-2kx}\,dx .}

    Aplicando la fórmula de integración por partes resulta

    \displaystyle{\int_0^\infty x^2 \cdot e^{-2kx}\,dx = \left [ x^2 \cdot\frac{e^{-2kx}}{2k} \right ]_{x=\infty}^{x=0} + 2 \int_0^\infty x \frac{e^{-2kx}}{2k} \,dx = \frac{1}{k} \int_0^\infty x \cdot e^{-2kx} \,dx . }

    Aplicando de nuevo la fórmula de integración por partes se obtiene

    \displaystyle{\int_0^\infty x e^{-2kx} \,dx = \left [ x \cdot\frac{e^{-2kx}}{2k} \right ]_{x=\infty}^{x=0}+ \int_0^\infty \frac{e^{-2kx}}{2k} \,dx= \frac{1}{2k} \int_0^\infty e^{-2kx} \,dx= \frac{1}{4k^2}.  }

    Combinando estos resultados se obtiene \displaystyle{\mathbb{E}(X^2)= \frac{1}{2k^2}} y por lo tanto

    \displaystyle{{\rm Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2=\frac{1}{2k^2}.}

  14. Daniel López dijo:

    El problema 22 del primer boletín me está dando un poco de problema. ¿Podría resolverlo por favor?

  15. Daniel,
    Ese problema está hecho en clase aunque no me importa explicarlo otra vez mañana. También podemos comentar el problema sobre el número de maneras de formar la palabra statistics.

  16. 1.1.22 Un experimento consiste en lanzar al aire una moneda repetidas veces y contar el número de lanzamientos hasta que aparece una cara por primera vez.

    1. Describir el espacio muestral S del experimento y comprobar que P(S) = 1.
    2. Calcular la probabilidad de aparecer la primera cara en k lanzamientos.
    3. Calcular la probabilidad de aparecer la primera cara en un lanzamiento par.


    Solución. El espacio muestral se puede describir como S=\{s_1, \ldots, s_k , \ldots \}, donde el suceso s_k representa la aparición de una cara después de k lanzamientos, de modo que s_k es una cadena de k-1 cruces seguidas de una cara. Es evidente que P(s_k)=1/2^k luego

    \displaystyle{ P(S)= \sum_{k=1}^\infty P(s_k)= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = 1.}

    La probabilidad de que aparezca una cara después de k lanzamientos viene dada por la expresión

    \displaystyle{ P(S)= \sum_{j=1}^k P(s_j)= \sum_{j=1}^k \frac{1}{2^j} = \frac{1/2-1/2^{j+1}}{1-1/2}=1-\frac{1}{2^{j}}.}

    La probabilidad de que aparezca una cara en un lanzamiento par viene dada por la expresión

    \displaystyle{ P(S)= \sum_{k=1}^\infty P(s_{2k})= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^{2k}} =  \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4^k}=\frac{1/4}{ 1-1/4}=\frac{1}{3}.}

  17. Mari Luz dijo:

    En la loteria de 400 billetes hay 4 premios. Una persona compra 10 billetes.Halla la probabilidad de que obtenga por lo menos 1 premio.

    Mi duda es que pienso q lo puedo hacer de dos maneras pero no me da lo mismo:
    1) 4 * 396
    0 10
    1- ____________= 1- 2.7*10^(-29)
    400
    10

    2) 4 + 4 + 4 + 4
    1 2 3 4
    _____________________ = 5.8*10^(-25)
    400
    10

    Perdon por la nefasta notacion…pero estoi en un ordenador de una facultad donde no puedo usar el programa adecuado.

    • Sea A el suceso en que algún billete es premiado. Calculamos la probabilidad del suceso contrario A^c en que ningún billete es premiado. El número de casos posibles es igual al número de permutaciones de 400 elementos tomados de 10 en 10, es decir,

      \displaystyle{N_{\rm pos} = \frac{400!}{390!}.}

      El número de casos favorables es igual a al número de permutaciones de 396 elementos tomados de 10 en 10, es decir,

      \displaystyle{N_{\rm fav} = \frac{396!}{386!}. }

      La probabilidad del suceso contrario A^c entonces viene dada por

      \displaystyle{ P(A^c)= \frac{N_{\rm fav}}{N_{\rm pos}}= \frac{396!390!}{400!386!} \simeq 0.93338.}

      Finalmente, la probabilidad del suceso A viene dada por

      \displaystyle{ P(A)=1-P(A^c) \simeq 0.09666.}

  18. Damián Domínguez dijo:

    Buenas Miguel!
    ¿Puede hacer el ejercicio 24 del primer boletín?
    Gracias de antemano!

  19. Mari Luz dijo:

    asi no lo habia escrito yo! mejor s elo amndo por correo

  20. Antonio L. Angulo dijo:

    Hola Miguel:
    Tengo una duda para el ejercicio 1.1.24:
    Se puede resolver de la siguiente manera:
    Npos=52!/13!13!13!13!=5,36×10^28
    Nfav=13!/6!4!2!1!=180180
    P=Nfav/Npos=3,36×10^-24
    Es que no se si se ha hecho en clase pues no lo tengo en mis apuntes.
    Muchas Gracias,
    Antonio

    • Antonio y Damián,
      Ese problema es parecido al que aparece en el primer comentario de este hilo. La solución de Antonio es correcta y la reproduzco en detalle en el siguiente comentario.
      –Miguel

      [Nota: Damián ha observado que la solución de Antonio no es correcta. Los siguientes comentarios de este hilo contienen la corrección.]

  21. 24. Una baraja de 52 cartas contiene 13 corazones. Supóngase que se barajan las cartas y se distribuyen entre 4 jugadores A,B,C y D de forma que cada jugador recibe 13 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que A reciba 6 corazones, B reciba 4 corazones, C reciba 2 corazones y C reciba 1?

    Solución. El número de casos posibles, es decir, el número de manos de 13 cartas para cada jugador, viene dado por la expresión

    \displaystyle{N_{\rm pos}= \frac{52!}{13!13!13!13!}.}

    El número de casos favorables, es decir, el número de manos en que A recibe 6 cartas, B recibe 4, C recibe 2 y D recibe 1 viene dado por

    \displaystyle{N_{\rm fav}= \frac{13!}{6!4!2!1!}.}

    Finalmente, la probabilidad que se pide calcular viene dada por

    \displaystyle{ P= \frac{N_{\rm fav}}{N_{\rm pos}}= \frac{13!^5}{52!6!4!2!1!} \simeq 3.36 \times 10^{-24}.}

    [Nota: Damián ha observado que esta solución es incorrecta porque solamente hemos contado el número de formas de repartir los 13 corazones, cuando también tenemos que contar el número de formas de repartir las 39 cartas restantes.]

    • Damián Domínguez dijo:

      Pero mi duda es si el número de casos favorables no sería repartir los 13 corazones en 6, 4, 2 y 1. Y ahora habría que repartir el resto de cartas de manera que cada uno en total tenga 13 cartas, es decir quedan 39 cartas que hay que repartir de manera que A recibe 7, B recibe 9, C recibe 11 y D recibe 12. Es decir, el número de casos favorables es:
      N_fav=((13!)/(6!4!2!1!))*((39!)/(7!9!11!12!))

  22. Damián,
    Tienes razón. Se me ha olvidado contar el número de formas de repartir las 39 cartas restantes. Esto explica que la solución diera una probabilidad tan baja. El número de casos favorables corregido viene dado por

    \displaystyle{N_{\rm fav}= \frac{13!}{6!4!2!1!} \cdot \frac{39!}{7!9!11!12!}.}

    La probabilidad que se pide calcular, una vez hecha esta corrección, viene dada por

    \displaystyle{P= \frac{N_{\rm fav}}{N_{\rm pos}}= \frac{13!13!13!13!13!39!}{6!4!2!1!7!9!11!12!52!} \simeq 0.001959.}

  23. Edu Pacheco dijo:

    Miguel se puede hacer el problema de repartir las cartas y que le toquen 3 figuras a cada uno con `probabilidad condicionada como te hice en el examen?
    Vamos que si tengo bien ese problema jajajaja es que me está matando la duda!!! jajajaja

  24. Álvaro dijo:

    Miguel podrías hacer los ejercicios 7 y 9 del primer boletin? Gracias.

  25. pehuen dijo:

    Buenas, no se si estoy en el lugar correcto pero nadie me sabe responder esto.
    va el planteo.
    corro una carrera contra 18 competidores y mi resultado es 16
    (gráficamente seria así) x= ELLOS 0=YO
    EL ULTIMO ACÁ –> xxx0xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx0xxxxxxxxxxxxxxx <– EL PRIMERO ACÁ

    ahora antes que pregunte, quiero remarcar que es algo mas bien orientado a la lógica y no a la matemática pero no se como encararlo, ya que si bien en los dos resultados me da en la posición 16 he avanzado mas (en términos relativos, ya que le gane a mas competidores) en la segunda carrera.

    RESULTADO 1 xxx0xxxxxxxxxxxxxxx
    RESULTADO 2 xxxxxx0xxxxxxxxxxxxxxx
    COMO SE VE ESTOY EN EL MISMO LUGAR PERO LES GANE A MAS.

    partiendo de esta idea la pregunta es la siguiente.
    si corro contra 16 competidores ¿en que puesto debería salir (teniendo en cuenta el avance relativo de mi ultima carrera) para estar en una posición no menor a mis avances.?

    espero que se entienda y si es que alguien puede me ayude.-

  26. merche dijo:

    Hola, tengo una duda muy grande que necesito que alguien me la resuelva,,, me haría un gran favor, es por unas oposiciones que estoy apunto de hacer y quiero saber la probabilidad que tengo que me salga un tema de los que me sé…Son 72 temas en total y me sé 25 temas, pero van a sacar 4 bolas ( cada bola es un tema) de las cuales puedo elegir una. Estaría eternamente agradecida a quien me resuelva que probalididad tengo o que % tengo de que me salga un tema de los 25 que llevo…mil gracias de corazón!!

    • Sea P la probabilidad de que salga un tema de los 25 que llevas preparados. Este problema se resuelve calculando la probabilidad del suceso contrario, es decir, que se extraigan 4 bolas de los 47 temas que no te sabes. Tenemos

      \displaystyle{1-P= \frac{\binom{47}{4}}{\binom{72}{4}}  \simeq 0.85}

      luego P \simeq 0.15, es decir, hay un 15% de posibilidades de que salga una pregunta que sepas.

      • merche dijo:

        Gracias pero no creo que sea correcto….si llevo 25 temas y son 72 y sacan 4 bolas , ¿Como va a ser nada más que el 15 %? …y si sacaran una bola solo ¿cual seria la probabilidad?…Gracias

      • Tienes razón, hay un error de cálculo, porque en realidad

        \displaystyle{1-P = \frac{\binom{47}{4}}{\binom{72}{4}} \simeq 0.17,}

        luego la probabilidad es mucho mayor: P \simeq 0.83.

  27. Abelardo dijo:

    ¿Y si tuviese que elegir dos temas entre las cuatro bolas que sacan? ¿Cómo se realizaría el cálculo?

  28. JSR dijo:

    Hola, no se si aun funciona el foro pero ahí va: estoy intentando calcular la probabilidad de ganar en un juego de lanzamiento de moneda y ver cómo varia la probabilidad según el número de lanzamientos.
    Por ejemplo, si es 1 lanzamiento la probabilidad sera 1/2, si se lanza 2 veces la probabilidad de ganar será 1/4 (solo ganar, no empatar) se da la circunstancia de que si el número de lanzamientos es impar la probabilidad de ganar es siempre 1/2, pero ¿cómo calcular la probabilidad cuando el número de lanzamientos es par?
    No tengo mucha formación matematica, pero intentaré aprender lo necesario.

  29. Cynthia dijo:

    Hola, quería pediros ayuda con este problema de probabilidad: “supongamos q en un autobús hay 23 pasajeros. No es mucho, pero basta para afirmar q la probabilidad de q dos pasajeros compartan la misma fecha de cumpleaños no es igual q la de q no haya dos q la compartan, sino mayor q ella. Es eso cierto? ” Gracias de antemano por ayudarme.

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