Un conjunto no medible

Vamos a demostrar la existencia de un conjunto no medible. Se define una relación de equivalencia en el intervalo [0,1) del siguiente modo: dos números x,y \in [0,1) son equivalentes si x-y \in \mathbb{Q}. Esta relación define una partición del intervalo [0,1) en clases de equivalencia. Gracias al axioma de elección, existe un conjunto S \subseteq [0,1) que contiene exactamente un elemento de cada clase. Sea ahora (r_j) una numeración de los números racionales en el intervalo (-1,1) y sea S_j=r_j+S. Veamos cómo (S_j) es una sucesión de conjuntos disjuntos. Si x \in S_j \cap S_k entonces x=r_j+s_j y x=r_k+s_k con s_j,s_k \in S, pero s_j-s_k=r_k-r_j \in \mathbb{Q}, luego s_j=s_k y por lo tanto j=k. Además se tiene

\displaystyle{[0,1) \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty S_j \subseteq (-1,2),}

porque si x \in [0,1) entonces x está en alguna clase de equivalencia, luego existe algún y \in S tal que x-y \in \mathbb{Q}, de modo que x-y=r_j para algún j \geq 1, y así x \in S_j. Ahora probamos que S no es medible por reducción al absurdo. Si S es medible entonces S_j es un conjunto medible con m(S_j)=m(S) para todo j \geq 1 y por lo tanto

\displaystyle{m ( \bigcup_{j=1}^\infty S_j) = \sum_{j=1}^\infty m(S_j)= \sum_{j=1}^\infty m(S),}

y esto es una contradicción porque \displaystyle{ 1 \leq m (\bigcup_{j=1}^\infty S_j) \leq 3}, mientras que la serie \displaystyle{ \sum_{j=1}^\infty m(S)} converge a cero o diverge, según sea la medida m(S) nula o positiva.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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6 respuestas a Un conjunto no medible

  1. Mira lo que presenté para la Edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas: http://eliatron.blogspot.com/2011/09/un-conjunto-que-no-se-pude-medir.html

    • Tito, estamos hablando de la misma construcción. Yo he publicado este post para ampliar la explicación que di en el aula. Un día me voy a armar de valor y voy a escribir acerca de la paradoja de Banach-Tarski.
      Saludos,
      Miguel

  2. Pingback: Enlaces yuriesféricos del 03/12/2011 | La Yuriesfera

  3. Andres dijo:

    Si S es un conjunto y r_j es un número racional, ¿qué significa r_j + S?

  4. Pingback: Un conjunto medible que no es boreliano | Café Matemático

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