La ley de Benford

El astrónomo norteamericano Simon Newcomb observó en 1881 que las primeras páginas de las tablas de logaritmos, que entonces se usaban para realizar cálculos, estaban mucho más desgastadas que las demás páginas.

Newcomb dedujo que los dígitos iniciales de los números utilizados por quienes habían consultado las tablas no eran equiprobables sino que d=1 aparecía como dígito inicial más frecuente, seguido de d=2, etc.

Newcomb formuló una ley empírica, que la probabilidad de que d fuera el primer dígito de un número venía dada por la expresión

P(d)=\log_{10}(d+1)-\log_{10}(d).

La siguiente tabla muestra los valores numéricos de esta distribución de probabilidad.

\begin{array}{cccccccccc}  d & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\  P(d) &  0.301 & 0.176 & 0.125 & 0.097 & 0.079 & 0.067 & 0.058 & 0.051 & 0.046  \end{array}

El fenómeno del desgaste de las tablas de logaritmos fue observado una vez más en 1938 por el físico norteamericano Frank Benford, quien comprobó este fenómeno en una gran variedad de conjuntos de datos. A partir de los valores empíricos Benford postuló una ley de los números anómalos que hoy se conoce como ley de Benford.

Algunos ejemplos de distribuciones que obedecen la ley de Benford son las direcciones de las calles, los precios de las acciones, el número de habitantes, las tasas de mortalidad y las longitudes de los ríos. La anomalía de Benford también se observa en los términos de la sucesión de Fibonacci.

Los matemáticos españoles Bartolo Luque y Lucas Lacasa descubrieron en 2009 que en la sucesión de lo números primos y en la sucesión de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, el primer dígito obedece un patrón que había pasado inadvertido hasta entonces, la llamada ley generalizada de Benford.

El economista norteamericano Hal Varian sugirió en 1972 que se podría aplicar la ley de Benford para detectar posible fraude en listas de datos socio-económicos. Suponiendo que quien maquilla los datos tiende a distribuir los números uniformemente, una simple comparación de la frecuencia del primer dígito en los datos con la distribución esperada según la ley de Benford debería mostrar cualquier resultado anómalo.

El psicólogo holandés Diederik Stapel fue acusado en noviembre de 2011 de publicar varies docenas de artículos con datos falseados. Los artículos de Stapel eran ciertamente provocativos. Un artículo aseguraba que la gente sometida a entornos desordenados tiende a despreciar a los extranjeros.

Este post es una contribución al Carnaval Matemático, cuya Edición 2.8 se aloja en el blog Ciencia Conjunta.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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7 respuestas a La ley de Benford

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  5. Martín dijo:

    Intuyo que la ley Benford no es aplicable en el caso Bárcenas, como creo que tampoco sería de aplicación a los sueldos, o primas, anuales que reciben los empleados de una empresa, o al consumo energético de una fábrica, cuando los datos se mantienen con regularidad a lo largo de un espacio de tiempo.

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