Clave de soluciones

Este post tiene por objeto la publicación de las soluciones a los problemas del examen del pasado día 14 de noviembre.

Problema 1. Probar que la serie de funciones \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n(1+nx^2)}} converge uniformemente en la recta real.

Solución. Primero calculamos \displaystyle{M_n=\max_{x \geq 0} \frac{x}{n(1+nx^2)}.} Hallamos la primera derivada

\displaystyle{ \frac{d}{dx} \frac{x}{n(1+nx^2)}= \frac{1-nx^2}{n(1+nx^2)^2}}

y observamos que la derivada se anula cuando x=1/\sqrt{n}, de modo que

\displaystyle{ M_n=\frac{1}{2n\sqrt{n}}.}

Ahora la serie numérica \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty M_n} es convergente porque tiene el mismo carácter que la integral impropia \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x^3}<\infty.} Se sigue de la prueba de mayoración de Weierstrass que la serie de funciones converge uniformemente en la recta real.

Problema 2. Aplicar la fórmula de integración por partes para probar que

\displaystyle{\int_a^b \frac{\sin x}{x} \,dx =  \frac{\cos a}{a}-\frac{\cos b}{b} - \int_a^b \frac{\cos x}{x^2}\,dx.}

Deducir que la integral impropia \displaystyle{\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx} es convergente.

Solución. Consideramos el esquema

u = 1/x, \qquad dv=\sin x dx
du = -dx/x^2, \qquad v=-\cos x dx.

Aplicando la fórmula de integración por partes resulta

\displaystyle{\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx= u(b)v(b)-u(a)v(a)  - \int_a^b v\,du.}
\displaystyle{= \frac{\cos a}{a}-\frac{\cos b}{b} - \int_a^b \frac{\cos x}{x^2}\,dx.}

A continuación observamos que \displaystyle{\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx=\int_0^1 \frac{\sin x}{x}\,dx+\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx .} La primera integral del segundo miembro es una integral ordinaria porque \displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1,} y por lo tanto el integrando es una función continua. La segunda integral del segundo miembro es convergente porque

\displaystyle{\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty} \frac{\cos 1}{1}-\frac{\cos b}{b} - \int_1^b \frac{\cos x}{x^2}\,dx= \cos 1 - \int_1^\infty \frac{\cos x}{x^2}\,dx,}

y esta última integral converge absolutamente gracias al criterio de comparación porque \displaystyle{\left | \frac{\cos x}{x}\right |\leq \frac{1}{x^2}} y \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}<\infty.}

Problema 3. Calcular un desarrollo en serie de potencias centrado en el origen para

\displaystyle{f(x)= \frac{3}{(1+x)(1-2x)}.}

Solución. Aplicando el algoritmo de descomposición en fracciones simples obtenemos

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1-2x}.}

La idea consiste en desarrollar primero cada fracción simple usando la serie geométrica y después combinar ambos desarrollos. Tenemos

\displaystyle{\frac{1}{1+x}= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n, \qquad |x|<1, }
\displaystyle{\frac{1}{1-2x}= \sum_{n=0}^\infty 2^n x^n, \qquad |x|<1/2, }

y por lo tanto

\displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^\infty [(-1)^n+2^n]x^n, \qquad |x| < 1/2.}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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