Foro abierto

Esta entrada tiene por objeto abrir un hilo de comentarios con dudas y preguntas de cara al examen del día 14 de noviembre.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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33 respuestas a Foro abierto

  1. victor dijo:

    Buenas, quería ver si me podría ayudar con el ejercicio número 9 de la primera relación y con el ejercicio 7 de la seguna. Muchas gracias.

    • Problema 2.7.

      Consideramos la sucesión de funciones (f_n) definidas en el intervalo [0,\infty) mediante la expresión

      \displaystyle{f_n(x)=\frac{\sin (nx)}{e^{nx}}.}

      Veamos en primer lugar que (f_n) converge puntualmente hacia cero. Tenemos f_n(0)=0, y si x>0 entonces \displaystyle{ |f_n(x)| \leq \frac{1}{e^{nx}} \to 0.}

      Sea \delta >0. Veamos que la convergencia es uniforme en [\delta,\infty). Tenemos \displaystyle{\sup_{x \geq \delta} |f_n(x)| \leq \frac{1}{e^{n \delta}} \to 0} cuando n \to \infty.

      Veamos que no hay convergencia uniforme en [0,\infty). Tenemos \displaystyle{M_n = \sup_{x \geq 0} |f_n(x)| \geq |f_n(\frac{\pi}{2n})|= \frac{1}{e^{\pi/2}}}

      luego no es cierto que M_n \to 0.

  2. Problema 1.9. Sea f: [0,\infty ) \to \mathbb{R} decreciente, no negativa y tal que

    \displaystyle{\int_0^\infty f(x)\,dx < \infty.}

    Probar que entonces \displaystyle{\lim_{x \to \infty} xf(x)=0.}

    Solución.Tenemos en primer lugar

    \displaystyle{\lim_{x \to \infty} \int_x^\infty f(t)\,dt =0.}

    Además, como f es decreciente, se sigue que

    \displaystyle{xf(2x) \leq \int_x^{2x} f(t)\,dt \leq \int_x^\infty f(t)\,dt,}

    y de estas desigualdades se deduce que \displaystyle{\lim_{x \to \infty} 2x f(2x)=0.}

  3. Pingback: Enlaces yuriesféricos del 01/11/2011 | La Yuriesfera

  4. Isabel dijo:

    Buenas noches. ¿Podría ayudarme con el séptimo apartado del ejercicio 2 [ log (1+x) / x^3 ]? Gracias de antemano.

  5. Problema 1.2. (vii) Estudiar la convergencia de la integral impropia

    \displaystyle{\int_{0+}^1 \frac{\log(1+x)}{x^3}\,dx.}

    Solución. Teniendo en cuenta que \log(1+x) \sim x cuando x \to 0+ y aplicando el criterio de comparación asintótica, resulta que la integral en cuestión tiene el mismo carácter que la integral \displaystyle{\int_{0+}^1 \frac{dx}{x^2},} que es divergente.

  6. Aitor dijo:

    Hola queria saber como se resuelve la integral impropia Log(sen x) entre 0 y pi y Log (cos x) entre 0 y pi/2. Gracias de antemano

  7. Ese problema aparece en un examen del curso pasado.

    http://personal.us.es/lacruz/Curso1011/SFIL1011/Examenes/1prueba.pdf

    Te contestaré esta noche.

  8. Problema. (Spivak, p.544, nº50)

    1. Calcular la integral impropia \displaystyle{\int_0^1 \log x\, dx.}
    2. Demostrar que la integral impropia \displaystyle{\int_0^\pi \log(\sin x)\, dx} es convergente.
    3. Utilizar el cambio de variable x=2t para probar que

      \displaystyle{\int_0^\pi \log(\sin x)\, dx= 2 \int_0^{\pi/2} \log(\sin x)\, dx + 2\int_0^{\pi/2} \log(\cos x)\, dx +\pi \log 2.}

    4. Calcular la integral impropia \displaystyle{\int_0^{\pi/2} \log(\cos x)\, dx.}

    Solución.

    1. Aplicando la fórmula de integración por partes resulta

      \displaystyle{\int_\varepsilon^1 \log x\, dx=0 -\varepsilon  \log \varepsilon - \int_\varepsilon^1 dx,}

      y tomando límites cuando \varepsilon \to 0 se obtiene \displaystyle{\int_0^1 \log x\, dx}=-1.

    2. Tenemos por razones de simetría \displaystyle{\int_0^\pi \sin x\, dx= 2 \int_0^{\pi/2} \sin x \,dx.} Ahora bien, como \sin x \sim x cuando x \to 0+, se deduce que la integral \displaystyle{\int_0^{\pi/2} \sin x \,dx} tiene el mismo carácter que la integral \displaystyle{\int_0^1 \log x\, dx,} que es convergente.
    3. Utilizando el cambio de variable x=2t resulta

      \displaystyle{\int_0^\pi \log(\sin x)\, dx= 2 \int_0^{\pi/2} \log(\sin 2t)\, dt.}

      Ahora bien, \log (\sin 2t) = \log(2 \sin t \cos t)= \log (\sin t) + \log (\cos t) + \log 2. Integrando esta igualdad cuando 0 \leq t \leq \pi/2 se obtiene el resultado.

    4. Como \displaystyle{\int_0^\pi \sin x\, dx= 2 \int_0^{\pi/2} \sin x \,dx,} la identidad del apartado anterior implica que

      \displaystyle{0=  2\int_0^{\pi/2} \log(\cos x)\, dx +\pi \log 2,}

      de donde se deduce que \displaystyle{\int_0^{\pi/2} \log(\cos x)\, dx =- \frac{\pi \log 2}{2}.}

  9. Guillermo dijo:

    Hola buenas, quería saber como se resuelve el último ejercicio de la primera relación de ejercicios el 1.10, gracias.

    • Problema 1.10. Estudiar el carácter de la integral \displaystyle{\int_e^\infty \frac{dx}{(\log x)^{\log x}}.}

      Solución. Como el integrando es una función positiva y decreciente, la integral impropia tiene el mismo carácter que la serie infinita \displaystyle{\sum_{n=3}^\infty \frac{1}{(\log n)^{\log n}}.} Ahora bien, según el criterio de condensación, esta serie tiene el mismo carácter que \displaystyle{\sum_{k=2}^\infty \frac{2^k}{[\log (2^k)]^{\log (2^k)}} = \sum_{k=2}^\infty \frac{2^k}{(k\log 2)^{k \log 2}}.}

      Esta última serie es convergente según el criterio de la raíz, ya que

      \displaystyle{\lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{2^k}{(k\log 2)^{k \log 2}}}= \lim_{k \to \infty} \frac{2}{(k \log 2)^{\log 2}}=0.}

  10. Isabel dijo:

    Buenas noches. Quería preguntarle sobre el ejercicio 7 de la 3ª relación. No sé cómo hacer el apartado en el que nos preguntan por la primitiva. El profesor Juan Carlos lo ha hecho hoy en clase, pero no he logrado entenderlo.

    Gracias de antemano.

    • Problema 3.7. Probar que la serie de funciones \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty  \frac{n}{e^{nx}}} converge puntualmente en (0,\infty) hacia una función f y además la convergencia es uniforme en [\,\delta,\infty) para cada \delta>0. Calcular una primitiva para f y deducir una expresión para f en términos elementales.

      Solución. Fijando x>0 y observando que \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n}{e^{nx}}}=\frac{1}{e^x}<1} se desprende que la serie de funciones converge puntualmente en (0,\infty) hacia una función f.

      Sea ahora \delta >0. Observemos que \displaystyle{\sup_{x \geq \delta} \left | \frac{n}{e^{nx}} \right | \leq \frac{n}{e^{n \delta}}} y que \displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^{n \delta}} < \infty.} Se sigue de la prueba de mayoración de Weierstrass que la serie de funciones converge uniformemente en [\delta,\infty).

      Como cada término de la serie de funciones es una función continua, se desprende de la convergencia uniforme que f también es una función continua. Si x \geq \delta entonces se sigue del Corolario 3.2.2 que

      \displaystyle{\int_\delta ^x f(t)\,dt =\sum_{n=1}^\infty \int_\delta^x \frac{n}{e^{nt}}\,dt=\sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{e^{n \delta}}-\frac{1}{e^{n x}}\right )=\frac{e^{-\delta}}{1-e^{-\delta}}-\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}.}

      Ignorando la constante aditiva en la identidad anterior resulta que una primitiva para f viene dada por \displaystyle{F(x)=-\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}.} Un sencillo cálculo con derivadas nos permite ahora obtener una expresión para f en términos elementales, a saber, \displaystyle{f(x)=F^\prime(x)=\frac{e^x}{(1-e^x)^2}.}

  11. victor dijo:

    Buenas tardes, quería preguntar por qué lo que realizamos en el apartado b) del ejercicio 3 de la 3ª relación no lo podemos hacer en el caso a). Y también quería preguntarle sobre el ejercicio 5 de la 2ª relación. Muchas gracias.

    • Problema 3.3. Probar que la serie de funciones

      \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty 2^n \sin \left ( \frac{1}{3^nx}\right )}

      converge uniformemente sobre el intervalo [\delta, \infty) para cada \delta>0. Probar que sin embargo no hay convergencia uniforme sobre el intervalo (0, \infty). Indicación: Estimar la suma cuando n \geq N para x=2/(\pi 3^N) .

      Víctor, supongo que por apartado (a) te refieres a la convergencia uniforme sobre el intervalo [\delta,\infty), y por apartado (b) a la falta de convergencia uniforme sobre el intervalo (0,\infty).

      Siendo así, el razonamiento del apartado (b) no se puede aplicar en el apartado (a) porque el punto x=2/(\pi 3^N) queda fuera del intervalo [\delta,\infty) cuando N es suficientemente grande.

  12. Problema 2.5.Sea (f_n) la sucesión de funciones definidas en el intervalo [0,\infty) mediante la expresión

    \displaystyle{f_n(x)=\frac{nx^p}{1+n^2x^2}.}

    1. Probar (f_n) converge puntualmente hacia cero.
    2. Hallar los valores del parámetro p \in \mathbb{R} para los que hay convergencia uniforme.

    Solución.

    1. Tomamos x \geq 0 y calculamos

      \displaystyle{f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n(x)= \lim_{n \to \infty} \frac{nx^p}{1+n^2x^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^p}{1/n +nx^2}=0. }

    2. Consideramos la cantidad

      \displaystyle{M_n(p)=\sup_{x \geq 0} |f_n(x)-f(x)|= \sup_{x \geq 0} \frac{nx^p}{1+n^2x^2}, }

      y observamos que la convergencia es uniforme para aquellos p \in {\mathbb R} tales que \displaystyle{\lim_{n \to \infty} M_n(p)=0.} Ahora hallamos el supremo M_n(p) mediante el cálculo de la primera derivada

      \displaystyle{\frac{d}{dx} \frac{nx^p}{1+n^2x^2}= \frac{nx^{p-1}(pn^2x^2-2n^2x^2+p)}{(1+n^2x^2)^2}  }

      La condición necesaria y suficiente para que se anule esta derivada es que (2-p)n^2x^2=p, es decir,

      \displaystyle{x = \frac{1}{n} \sqrt{\frac{p}{2-p}}.}

      Sustituyendo este valor en la expresión para |f_n(x)-f(x)| resulta

    3. \displaystyle{M_n(p)= \frac{1}{4n^{p-1}} \,p^{p/2}(2-p)^{2-p/2},}

      de donde se deduce que la convergencia es uniforme si y sólo si 1 < p < 2.

  13. Aitor dijo:

    Buenas tardes, queria saber como se hacen los apartados a) y b) del ejercicio 4 del examen del cuso pasado.

    Gracias.

    • Problema. (Spivak, p.710, nº10)

      1. Probar que la serie de funciones \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{nx}{1+n^4x^2}} converge puntualmente en la recta real hacia una función f, digamos.
      2. Demostrar que la convergencia es uniforme sobre el intervalo [\delta,\infty), donde \delta >0. Indicación: Hallar primero el máximo de \displaystyle{ \frac{nx}{1+n^4x^2}} sobre [0,\infty).
      3. Demostrar que \displaystyle{f(\frac{1}{N})  \geq \frac{N}{2} \cdot \sum_{n \geq \sqrt{N}} \frac{1}{n^3}} para cada N \in \mathbb{N}, y deducir que \displaystyle{f(\frac{1}{N}) \geq \frac{1}{4}.} Indicación: Estimar la suma mediante una integral impropia.
      4. Concluir que la serie de funciones no converge uniformemente en la recta real.

      Solución.

      1. Está claro que cuando x=0 la serie converge hacia f(0)=0. Supongamos entonces que x \neq 0 y observemos que \displaystyle{\left | \frac{nx}{1+n^4x^2} \right | \leq \frac{1}{n^3|x|}.} Como \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} < \infty,} se sigue del criterio de comparación que \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{nx}{1+n^4x^2}} converge absolutamente.
      2. Siguiendo la indicación, primero hallamos el máximo de \displaystyle{ \frac{nx}{1+n^4x^2}} sobre [0,\infty). Calculando la primera derivada

        \displaystyle{\frac{d}{dx}  \frac{nx}{1+n^4x^2} = \frac{n-n^5x^2}{(1+n^4x^2)^2},}

        resulta que el máximo se alcanza cuando n-n^5x^2=0, es decir, cuando x=1/n^2. La derivada es positiva cuando 0 <x  1/n^2 y negativa cuando x > \delta. Ahora fijamos \delta >0 y escogemos n \in \mathbb{N} tal que 1/n^2 < \delta. Tenemos entonces

        \displaystyle{ \max_{ x \geq \delta}\frac{nx}{1+n^4x^2} = \frac{n\delta }{1+n^4\delta^2} \leq \frac{1}{n^3 \delta}.}

        Además la serie numérica \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \delta} } es convergente. Se sigue de la prueba de mayoración de Weierstrass que la serie de funciones converge uniformemente en [\delta,\infty).

      3. Tenemos

        \displaystyle{f(\frac{1}{N}) \geq \sum_{n \geq \sqrt{N}} \frac{n/N}{1+n^4/N^2}.}

        Ahora bien, si n \geq \sqrt{N} entonces n^4 \geq N^2, luego

        \displaystyle{ \sum_{n \geq \sqrt{N}} \frac{n/N}{1+n^4/N^2} \geq \sum_{n \geq \sqrt{N}} \frac{n/N}{2 n^4/N^2} = \frac{N}{2} \cdot  \sum_{n \geq \sqrt{N}} \frac{1}{n^3}.}

        Ahora estimamos esta suma mediante una integral impropia. Tenemos

        \displaystyle{\sum_{n \geq \sqrt{N}} \frac{1}{n^3} \geq \int_{[\sqrt{N}]+1}^\infty \frac{dx}{x}= \frac{1}{2([\sqrt{N}]+1)^2} \geq \frac{1}{2( 2 \sqrt{N})^2} = \frac{1}{8N}, }

        de donde se deduce que \displaystyle{f(\frac{1}{N}) \geq \frac{1}{8}.}

      4. Veamos que no hay convergencia uniforme sobre la recta real. Razonamos por reducción al absurdo. Si la serie de funciones converge uniformemente en \mathbb{R}, como cada término es una función continua, se sigue que f también es una función continua. Pero si f es continua en el origen entonces \displaystyle{\lim_{N \to \infty}f(1/N)=0,} y esto es una contradicción porque f(1/N) \geq 1/8.
  14. José Javier dijo:

    Buenas, una pregunta acerca de la relación 4ª de problemas. El ejercicio 1, apartado f) , es decir el 2º de la 2ª línea, al hacer el criterio de la raíz para hallar el radio de convergencia nos da que la raiz enésima de (an) da infinito… ¿Eso implica que el radio de convergencia es 0?

  15. Guillermo dijo:

    Hola buenas noches, quería saber si podría volver resolver el ejercicio 1.e de la 4ª relación de ejercicios explicando porque utilizas 1/(k^k) y del mismo ejercicio el apartado h. ¡Muchas gracias!

    • Guillermo, para hallar el radio de convergencia de la serie de potencias \displaystyle{f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-2)^{n^2}}{n^n}} observamos que f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n(x-2)^n, donde los coeficientes son \displaystyle{a_n= \frac{1}{k^k}} si n=k^2 y a_n=0 en otro caso. Tenemos la fórmula del radio de convergencia

      \displaystyle{\frac{1}{R}= \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|.}}

      El límite superior es igual al supremo de los límites de subsucesiones convergentes, y en este caso se alcanza para la subsucesión de los términos no nulos \displaystyle{a_{k^2}= \frac{1}{k^k},} es decir,

      \displaystyle{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{ k \to \infty} \left ( \frac{1}{k^k}\right )^{1/k^2}= \lim_{ k \to \infty} \frac{1}{k^{1/k}} =1.}

      Un razonamiento análogo se puede aplicar a la serie de potencias \displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n!}}{n!}.} Tenemos \displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n,} donde a_n=k! si n=k! y a_n=0 en otro caso. Entonces

      \displaystyle{\frac{1}{R} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k!^{1/k!}}= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/n}}=1.}

      Nota: He editado este comentario porque donde dice a_k=k! debería decir a_n=1/k!.

  16. antonio dijo:

    Hola buenas noches,queria saber si podria resolver el ultimo apartado de los ejercicios 1 y 8 de la relacion del tema 4.Muchas gracias.

  17. Antonio, el radio de convergencia de la serie de potencias \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty x^{n^n}} viene dado por la expresión

    \displaystyle{\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} 1^{1/n^n}= \lim_{N \to \infty} 1 =1.}

    El radio de convergencia de la serie de potencias \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty 2^nx^{n!}} viene dado por

    \displaystyle{\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} (2^n)^{1/n!}= \lim_{n \to \infty} 2^{1/(n-1)!} =1.}

    Saludos,
    Miguel

  18. Sonia dijo:

    Hola, buenos dias. ¿Podrías resolver el ejercicio 1.8?
    No lo tengo en los apuntes y no consigo hacerlo.
    Muchas gracias
    Saludos, Sonia

    • Problema 1.8. Sea f:[0,\infty) \to \mathbb{R} una función continua, no negativa y tal que \displaystyle{\int_0^\infty f(x)\,dx < \infty.} Probar que si existe \displaystyle{L=\lim_{x \to \infty} f(x)} entonces L=0.

      Solución. Como f es no negativa tenemos L \geq 0. Veamos que L=0. Razonamos por reducción al absurdo. En caso contrario L>0. Entonces existe x_0 >0 tal que f(x) \geq L/2 si x \geq x_0. Ahora bien, si x \geq x_0 entonces

      \displaystyle{\int_0^x f(t)\,dt \geq \int_{x_0}^x f(t)\,dt \geq \frac{L}{2}(x-x_0) \to \infty \text{ cuando } x \to \infty,}

      y hemos llegado a una contradicción.

  19. victor dijo:

    hola buenas tardes, quería preguntar sobre un ejercicio en concreto. En el ejercicio 3.4. se trata de una serie alternada y hemos visto que no podemos hacer el teorema de la M, y entonces hemos hecho Leibniz. Pero hemos visto que |An+1| -> 0 cuando n-> infinito. ¿Con eso demostramos que la convergencia de la suma total es uniforme o solo puntual? Es que nos piden que sea uniforme y hemos acabado ahí el problema. Muchas gracias.

  20. Problema 3.4. Probar que la serie de funciones

    \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty (1-)^n \frac{x^2+n}{n^2}}

    converge uniformemente sobre cualquier intervalo acotado [a,b]. Probar que sin embargo no hay convergencia absoluta.

    Solución. Tenemos \displaystyle{\left | (-1)^n \frac{x^2+n}{n^2} \right | = \frac{x^2+n}{n^2} \geq \frac{1}{n}} y como \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty,} se sigue que la serie no converge absolutamente.

    La prueba de mayoración de Weierstrass garantiza convergencia uniforme y absoluta. Como esta serie de funciones no converge absolutamente, no se puede aplicar la prueba de mayoración de Weierstrass.

    Como se trata de una serie alternada, se puede aplicar el criterio de Leibniz (Spivak, p.656) para deducir que la convergencia puntual. La demostración del criterio de Leibniz nos permite obtener la siguiente estimación (Spivak, p.671)

    \displaystyle{\left | \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^2+n}{n^2} - \sum_{n=1}^N (-1)^n \frac{x^2+n}{n^2}\right | < \frac{x^2+N}{N^2}.}

    Ahora existe una constante c>0 tal que x^2 \leq c para todo x \in [a,b]. Entonces

    \displaystyle{\sup_{x \in [a,b]} \left | \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^2+n}{n^2} - \sum_{n=1}^N (-1)^n \frac{x^2+n}{n^2}\right | \leq \frac{c+N}{N^2} \to 0 \text{ cuando } N \to \infty}

    y por lo tanto la serie de funciones converge uniformemente en [a,b].

  21. Isabel dijo:

    Buenos días. Al ver la solución del ejercicio que le ha preguntado Guillermo, en particular del apartado h, me ha surgido una duda. ¿Por qué an es k! cuando n=k!? Yo hice el ejercicio con
    an = 1/k
    y me sale el mismo resultado. ¿Es correcto?
    Gracias,
    Isabel.

  22. victor dijo:

    perdona el examen es a las 9:30 verdad?es que como algunos examenes los hemos adelantado a las 9 pues me he liado un poco. . .

  23. Sonia López Parrilla dijo:

    Hola, Miguel.
    Soy Sonia, el problema de la lista puede venir por un cambio de grupo que hice. El lunes me pasaré por secretaría para ver cúal es el problema.
    Saludos,
    Sonia.

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