Euler y sus primos

Euler probó que hay infinitos números primos observando que la serie infinita

\displaystyle{\sum_p \frac{1}{p}}

es divergente; la suma se extiende a todos los números primos.

Sea N un número natural y sean p_1, \ldots , p_r los números primos que dividen a algún número natural \leq N. Según el teorema fundamental de la aritmética tenemos

\displaystyle{\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \leq \prod_{j=1}^r \left ( 1 + \frac{1}{p_j} + \frac{1}{p_j^2} + \cdots \right ).}

Cada factor en este producto es la suma infinita de una progresión geométrica, luego

\displaystyle{\prod_{j=1}^r \left ( 1 + \frac{1}{p_j} + \frac{1}{p_j^2} + \cdots \right )= \prod_{j=1}^r \left ( 1 - \frac{1}{p_j} \right )^{-1}.}

Teniendo en cuenta que (1-x)^{-1} \leq e^{2x} cuando 0 \leq x \leq 1/2, resulta que

\displaystyle{\prod_{j=1}^r \left ( 1 - \frac{1}{p_j} \right )^{-1} \leq \exp \left ( \sum_{j=1}^r \frac{2}{p_j} \right ). }

Combinando estas relaciones y teniendo en cuenta que la serie armónica es divergente, se deduce el resultado de Euler.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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5 respuestas a Euler y sus primos

  1. Pingback: Enlaces yuriesféricos del 07/10/2011 | La Yuriesfera

  2. ZetaSelberg dijo:

    Esta es una de mis demostraciones favoritas! 🙂

  3. Me alegra que te guste tanto. La idea se puede generalizar para probar la existencia de infinitos números primos en progresiones aritméticas. Tú sabes mucho más que yo de este asunto 😉

  4. Muchas gracias por el enlace, que he añadido a mis favoritos para leerlo con calma.
    Saludos,
    Miguel

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