La constante de Euler

Sea (a_n) la sucesión de números reales definida mediante la expresión

\displaystyle{a_n = 1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - \log n}.

Observemos que para cada n \geq 1 se tiene

\displaystyle{\frac{1}{n+1} < \log (n+1)-\log n < \frac{1}{n},}

Se deduce de estas desigualdades que (a_n) es una sucesión decreciente de números positivos y por lo tanto existe

\displaystyle{\gamma = \lim_{n \to \infty}  1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - \log n.}

El número \gamma se llama constante de Euler y su valor aproximado es \gamma=0.5772156649 \cdots . Se desconoce si la constante de Euler es un número racional.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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