Foro abierto agosto 2011

El mes de septiembre y sus exámenes están a la vuelta de la esquina. Estoy a vuestra disposición para las consultas que queráis realizar.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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8 respuestas a Foro abierto agosto 2011

  1. Juan García Menéndez dijo:

    – Tenemos 3 cajas roja, blanca y azul y tres bolas del color de las cajas. Metiendo las 3 bolas al azar, ¿qué probabilidad hay de que ninguna esté en la caja de su color?

  2. Muy buena pregunta, que sirve para practicar un poco el cálculo de probabilidades.

    Consideramos los sucesos R= \text{bola roja en caja roja}, B= \text{bola blanca en caja blanca}, A= \text{bola azul en caja azul}. La probabilidad de que alguna bola esté en la caja de su color viene dada por

    P(R \cup B \cup A)=P(R)+P(B)+P(A)-P(R \cap B)-P(R \cap A)-P(B \cap A)+P(R \cap B \cap A).

    Ahora bien, si la bola roja está en la caja roja y la bola blanca está en la caja blanca, entonces la bola azul está en la caja azul, es decir, R \cap B= R \cap B \cap A. Análogamente R \cap A= R \cap B \cap A y B \cap A= R \cap B \cap A. Entonces

    P(R \cup B \cup A)=P(R)+P(B)+P(A)-2P(R \cap B \cap A)

    Los sucesos R,B,A son equiprobables y tienen probabilidad 1/3 (ésta es la probabilidad de que una bola determinada caiga en la caja de su color, hay tres casos posibles y un caso favorable). Además el suceso R \cap B \cap A tiene probabilidad 1/6 (hay un caso favorable entre las 3!=6 ordenaciones posibles de las tres bolas). Entonces

    P(R \cup B \cup A)=3P(R)-2P(R \cap B \cap A)=3 \cdot \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{3}.

    Finalmente, la probabilidad de que ninguna bola caiga en la caja de su color es igual a la probabilidad del suceso contrario de R \cup B \cup A, es decir,

    P[(R \cup B \cup A)^c]= 1 - P(R \cup B \cup A)= 1- \frac{2}{3}=\frac{1}{3}.

  3. He subido una clave de soluciones a los problemas del examen final

    https://cafematematico.files.wordpress.com/2011/08/clave22junio11.pdf

    –Miguel

  4. Pingback: Enlaces yuriesféricos del 16/08/2011 | La Yuriesfera

  5. Juan García Menéndez dijo:

    Miguel, ¿cómo puedo describir el espacio muestral de un experimento que consiste en lanzar un dado hasta que aparezca un 6 y comprobar que P(S)=1?¿Y describir los posibles sucesos en el espacio muestral S={a,b,c}?

    • Juan,

      1º. Las apariciones en lanzamientos sucesivos son sucesos independientes. La probabilidad de que aparezca un seis en el primer lanzamiento es igual a \displaystyle{\frac{1}{6}.} La probabilidad de que aparezca un seis tras dos lanzamientos es igual a la probabilidad de que no aparezca un seis en el primer lanzamiento por la probabilidad de que aparezca un seis en el segundo lanzamiento, es decir, \displaystyle{\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}.} (Estos sucesos son independientes como he dicho antes.) La probabilidad de que aparezca un seis tras tres lanzamientos es \displaystyle{\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6},} y en general, la probabilidad de que aparezca un seis tras n lanzamientos es igual a \displaystyle{\frac{5^{n-1}}{6^n}.} Si sumamos estas probabilidades elementales obtenemos la probabilidad del suceso seguro, es decir,

      \displaystyle{P(S)=\sum_{n=1}^\infty \frac{5^{n-1}}{6^n}= 1.}

      2º Los posibles sucesos en el espacio muestral S=\{a,b,c\} son los distintos subconjuntos de S, es decir,

      \emptyset, \{a\},  \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, S.

  6. Juan García Menéndez dijo:

    Miguel, en la pregunta 6 del examen final, probar que u(x,y) es armónica se vuelve algo tedioso si se quiere comprobar que cumple la ecuación de Laplace. En la solución, se observa directamente que es la parte real de una función holomorfa, y por tanto armónica. ¿Tiene una función holomorfa alguna forma con la que pueda ser reconocida?

  7. Juan, la función del sexto problema es un polinomio de segundo grado, que se reconoce fácilmente al inspeccionar su parte real. Hablando en tėrminos generales, la función puede ser reconocida al simplificar su parte real.

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