Primos en progresiones aritméticas

La prueba de la infinitud de los números primos dada por Euclides procede por reducción al absurdo y parte de la hipótesis de que solamente hay una cantidad finita de números primos, digamos p_1, \ldots , p_n. Vamos a ver que esta hipótesis lleva a una contradicción.

Consideramos el número N=p_1 \cdots p_n +1. Tenemos que N no es divisible por ningún p_j, porque el resto de la división es igual a 1. Observamos que o bien N es primo (lo cual es contradictorio porque N \neq p_j) o bien N es tiene un factor primo (lo cual también es contradictorio porque dicho factor primo es distinto de p_j.) En cualquier caso, hemos llegado a una contradicción.

Dirichlet extendió este resultado para probar la existencia de infinitos números primos en progresiones aritméticas. Resulta que cualquier progresión aritmética de la forma a, a+d, a+2d, \ldots , a+nd, \ldots (donde a, d no tienen factores comunes) contiene infinitos números primos. Aunque la demostración de este resultado utiliza la teoría de funciones de una variable compleja, es posible adaptar el método de Euclides para obtener una demostración sencilla en algunas progresiones aritméticas especiales.

Vamos a probar por reducción al absurdo que existen infinitos números primos de la forma 4n+3. Observamos en primer lugar que el producto de dos números de la forma 4n+1 es también de esta forma, ya que (4n+1)(4m+1)=4(4nm+n+m)+1.

Supongamos entonces que hay solamente una cantidad finita p_1 , \ldots , p_n de la forma 4n+3, y consideremos el número

N=4p_1 \cdots p_n - 1 = 4(p_1 \cdots p_n -1)+3.

Observamos que, o bien N es primo (lo cual es contradictorio) o bien N se descompone como un producto de factores primos. Alguno de estos factores no es de la forma 4n+1, porque en caso contrario N sería de esta forma. Por lo tanto, dicho factor ha de ser de la forma 4n+3, y como no es igual a ningún p_j, hemos llegado a una contradicción.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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5 respuestas a Primos en progresiones aritméticas

  1. Pingback: Enlaces yuriesféricos del 24/07/2011 | La Yuriesfera

  2. ZetaSelberg dijo:

    De hecho, también se puede demostrar que existen infinitos primos para ciertas progresiones aritméticas usando la ley de reciprocidad cuadrática. Resulta un poco más interesante que la demostración tradicional (a pesar de que la idea es la misma: por contradicción), además de hacernos pensar en que se puede generalizar, pero no, sólo funciona para ciertos casos :D.

    Interesante el blog! Estaré pasando por acá frecuentemente.

  3. J. H. S. dijo:

    Algunas observaciones:

    1. En el párrafo inicial se afirma que la prueba de Euclides de la infinitud de los números primos es por reducción al absurdo. De acuerdo con una nota de Michael Hardy en el Mathematical Intelligencer (Prime Simplicity, 2009) esto no es así. Aunque la observación del Profesor M. Hardy no es relevante al resultado en sí, me parece que no estaría por demás dedicar unos minutos a la lectura de su escrito.

    2. Sobre el comentario del Profesor Atle: en realidad, el principio básico sobre el que descansan estas pruebas de instancias particulares del teorema de Dirichlet es la existencia de polinomios con infinitos divisores primos dentro de la progresión aritmética respectiva. Por ejemplo, para probar la infinitud en el caso de la progresión 4k+3, lo que el Profesor Miguel hizó fue considerar en primer lugar el polinomio p(x)=4x-1. Después, dada una familia finita {p_1, p_2, …, p_k} de primos en la progresión 4k+3, mostró que siempre puede elegir un N_k de tal manera que p(N_k) posea un factor primo p_(k+1) dentro de la progresión aritmética 4k+3 y fuera de {p_1, p_2, …, p_k}. La aplicación iterada de este proceso genera claramente infinitos primos dentro de la progresión artimética dada y de aquí nuestro QED.

    En el caso de otras progresiones aritméticas, la idea es análoga y lo único que cambia es que para derivar nuevos factores primos para el polinomio con el que se inicia se requieren herramientas ad hoc como el criterio de Euler (e.g., en el caso de la progresión aritmética 4k+1) o la ley de reciprocidad cuadrática (e.g., en el caso de la progresión aritmética 6k+1).

    Con todo esto por delante, no hay que saltar a la conclusión de que la introducción de los caracteres de Dirichlet o el estudio de la no-anulación de las funciones L en la recta 1+it son ingredientes un tanto sobrados en la prueba del teorema “completo” de Dirichlet. El Profesor R. Murty demostró (c. 1988) que la adaptación del argumento esbozado líneas arriba es sólo posible en ciertas progresiones aritméticas y, de hecho, en su trabajo presenta una condición necesaria y suficiente en términos del elemento inicial de la p.a. y de la diferencia común. Según él, la condición suficiente se remonta a I. Schur.

    Cordialmente,

    J. H. S.

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