Foro abierto mayo 2011

Esta entrada pretende ser un foro abierto para comentar dudas de cara al examen del jueves día 2 de junio.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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33 respuestas a Foro abierto mayo 2011

  1. javi dijo:

    Miguel, en el problema 2 de la relación 2.3 no entiendo porque z=zo+r*exp(it) es la circunferencia de radio r mayor que 0 centrada en el origen, y tampoco entiendo el segundo paso que haces cuando dices que la integral de (z-zo) elevado a n de diferencial de z es igual a la integral de 0 a 2pi de r elevado a n * exp(int) * i*r*exp(it) diferencial de t.

    Muchas gracias y espero la respuesta.

  2. Jesús dijo:

    Hola profesor, me gustaría que me explicase para ver si una función compleja es derivable, se calcula el límite f(z)-f(a)/z-a. Si tengo por ejemplo z=x+yi en el punto cero, ¿siempre hay que ver que el límite cuando x tiende a 0 es igual al límite cuando y tiende a 0? quiero decir ¿la condición se resume a que el límite cuando la parte real tiende a t tiene que ser igual al límite cuando la parte imaginaria tiende a t?
    gracias por atenderme

    • Jesús, la existencia de los límites separados no implica la existencia del límite conjunto. El argumento de los límites separados lo hemos utilizado para probar que una función no es holomorfa. El método general para probar que una función es holomorfa consiste en comprobar que la parte real y la parte imaginaria satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

      • Jesús dijo:

        profesor es que mi duda venía de un ejemplo en el que demostrabamos que f(z)=conjugado de z no era derivable en 0 y calculabamos la derivada en cero usando los límites de x e y (z=x+yi), entonces esto sirve para ver que no es holomorfa no?
        [Edit] Sí, a eso me refiero. Saludos, Miguel.

  3. Problema 2.3.12 Considerar la integral de contorno a lo largo de la circunferencia unidad

    \displaystyle{\int_C \frac{e^z}{z}\,dz}

    para probar que

    \displaystyle{\int_0^\pi e^{\cos \theta} \cos (\sin \theta)d \theta=\pi.}

    Solución. Tenemos por una parte, según la fórmula integral de Cauchy,

    \displaystyle{\int_C \frac{e^z}{z}\,dz=2\pi i e^0=2 \pi i.}

    Ahora calculamos la integral usando la parametrización z=e^{i\theta}, 0 \leq \theta \leq 2\pi, dz=ie^{i\theta}d\theta, de modo que

    \displaystyle{\int_C \frac{e^z}{z}\,dz=\int_0^{2 \pi} \frac{e^{e^{i\theta}}}{e^{i \theta}} \cdot i e^{i \theta}d\theta = i \int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta + i \sin \theta}d\theta}

    \displaystyle{= i \int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta} (\cos(\sin \theta) + i \sin(\sin(\theta))d\theta,}

    de donde se deduce que

    \displaystyle{\int_0^{2\pi} e^{\cos \theta} \cos (\sin \theta)d \theta=2\pi,}

    \displaystyle{\int_0^{2\pi} e^{\cos \theta} \sin (\sin \theta)d \theta=0.}

    Finalmente, por razones de simetría se tiene

    \displaystyle{\int_0^{\pi}e^{\cos \theta} \cos (\sin \theta)d \theta= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} e^{\cos \theta} \cos (\sin \theta)d \theta =\pi.}

  4. Jesús dijo:

    Hola profesor si podía resolverme una duda es del problema 5 de la relacion 2.2, es que te dicen que re z es >1 y la condición que deben cumplir es que la derivada parcial de u con respecto a x mas la parcial de v con respecto a y deben ser 0. Pero si la función es holomorfa, la parcial de u con respecto a x debe ser igual que la parcial de v respecto a y, entonces supongo que u y v son constantes (para que las derivadas se anulen), pero no se continuar, me podría explicar como continuar, gracias

  5. Problema 2.2.5 Sea \Omega = \{ z \in \mathbb{C}: \mbox{Re }z >1\}. Sea f=u+iv holomorfa en \Omega tal que

    \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.}

    Probar que existen constantes c \in \mathbb{R}, d \in \mathbb{C} tales que f(z)=-icz+d.

    Indicación. Como f es holomorfa, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es decir,

    \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=0,}

    \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0.}

    Combinando la ecuación en la condición del enunciado con la primera de las ecuaciones de Cauchy-Riemann resulta

    \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0.}

    Ahora hay que intentar recuperar las funciones u,v a partir de esta condición.

  6. Manuel López dijo:

    En el ejercicio 2.2.10 se pide calcular la derivada de f(z)=z^c donde c>0 y la funcion esta definida en Re z >0. Para demostrar que es holomorfa he pasado z a la forma rcis(o) y he aplicado lo demostrado en el ejercicio 6, pero lo veo un poco cogido por los pelos, ¿hay alguna otra forma de hacerlo? y sobre todo, mi duda es, ¿cómo calculamos la derivada?

    • Manuel, entiendo que para probar que f(z)=z^c es holomorfa en el semiplano {\rm Re} z >0 quieres aplicar el problema 2.2.6. Esta es una buena idea. Teniendo en cuenta que f(re^{i \theta})=r^c e^{i c \theta}, resulta que la parte real y la parte imaginaria de f(re^{i \theta}) vienen dadas por u=r^c \cos (c \theta), v=r^c \sin (c \theta), y un sencillo cálculo indica que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares.

      Hay una manera más sencilla de abordar el problema. Utilizando la rama principal de la función logarítmica tenemos f(z)= \exp(c {\rm Log} z), luego f es holomorfa por ser composición de funciones holomorfas. Además, se sigue de la regla de la cadena que f^\prime (z)=c z^{c-1}.

      Saludos,
      Miguel

  7. Marta Cid dijo:

    Profesor tengo problemas para resolver el ejercicio 2.2.6
    Gracias.

  8. Juanlu dijo:

    Saludos a todos. Tengo dos pequeñas dudas.

    En la relacion 2.2. de problemas, en los primeros ejercicios se refiere a obtener una función holomorfa en el dominio adecuado, ¿este dominio es el de definición de la propia función de partida?

    Por otro lado, El ejercicio 4º de la misma relación, en el b) se me ocurre hacerlo partiendo de que | f |^2=f \overline{f} Entonces aplico la regla de la derivada en cadena y como f, tanto como su conjugada son holomorfas y constantes, pues me sale el resultado esperado (que el modulo de f es constante por que la derivada se anula), ¿es buena idea?

    • Juanlu, he editado y corregido tu código \LaTeX porque no compilaba. Tu idea es buena aunque algo imprecisa. Su descomponemos f en parte real y parte imaginaria entonces f=u + i v, de modo que |f|^2=u^2+v^2 es constante. Ahora aplicamos la regla de la cadena para obtener

      \displaystyle{2 u \frac{\partial u}{\partial x} + 2  v \frac{\partial v}{\partial x}=0,}

      \displaystyle{2 u \frac{\partial u}{\partial y} + 2  v \frac{\partial v}{\partial y}=0.}

      Imponiendo ahora las condiciones de Cauchy-Riemann resulta

      \displaystyle{u \frac{\partial u}{\partial x} -  v \frac{\partial u}{\partial y}=0,}

      \displaystyle{v \frac{\partial u}{\partial x} +   u \frac{\partial u}{\partial y}=0.}

      Tenemos un sistema homogéneo de ecuaciones lineales cuyo determinante es u^2+v^2 \neq 0 y por lo tanto la única solución es trivial, es decir, \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0,} de donde se deduce que u es constante. Como |f|^2=u^2+v^2 es constante, se sigue que v también es constante.

  9. Irene dijo:

    Miguel, no entiendo los ejercicios 16 y 17 de la relación 2.3. Si son muy extensos, ¿podrías explicarlos mañana en clase?
    Gracias

  10. javi dijo:

    Miguel, ¿podrías dar las soluciones de los ejercicios 2.4.8 y 2.4.9 ?

  11. Problema 2.4.8. Calcular una función entera f(z) tal que {\rm Re}f(x+iy)=x^2-3x-y^2.

    Solución. Pongamos f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y), donde u(x,y)=x^2-3x-y^2. La función f es entera siempre y cuando satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann

    \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y},}

    \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial y }= -\frac{\partial v}{\partial x}.}

    Tenemos entonces

    \displaystyle{\frac{\partial v}{\partial x}= 2y,}

    \displaystyle{\frac{\partial v}{\partial y}= 2x-3.}

    Calculando la integral indefinida respecto a x resulta

    \displaystyle{v=\int \frac{\partial v}{\partial x}dx= 2yx+c(y),}

    donde, a priori, la constante de integración c(y) depende de y. Calculando derivadas parciales respecto a y y usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann obtenemos

    \displaystyle{2x+c^\prime(y) =\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=2x-3 ,}

    de donde se deduce que c^\prime(y)=-3, es decir, c(y)=-3y. Finalmente resulta v=2xy-3y.

  12. Problema 2.4.9. Evaluar la integral de contorno \displaystyle{\oint_\gamma {\rm Log}\,(z+3)dz,} donde \gamma es la circunferencia |z|=2 orientada positivamente.

    Solución.

    La función z \to {\rm Log}\,(z+3) es holomorfa en el semiplano \Omega = \{z \in \mathbb{C}: {\rm Re}z > -3\}. La curva cerrada \gamma está contenida en \Omega. Además, el conjunto \Omega es abierto y convexo. Se sigue del teorema integral de Cauchy que \displaystyle{\oint_\gamma {\rm Log}\,(z+3)dz=0.}

  13. javi dijo:

    Miguel, En el ejercicio 2.4.9 que es de la integral a lo largo del camino cerrado de Log(z+3) es igual a cero, ¿nosotros no podemos resolver esta integral por partes?, ¿por qué no se pueden hacer integrales por partes en cualquier camino cerrado? ¿Esto es cierto?.

    Saludos.

    • Javi, cuando se parametriza la curva, la integral de contorno se convierte en la integral de Riemann de una función de variable real, a la que se puede aplicar la fórmula de integración por partes, aunque en este ejemplo el teorema integral de Cauchy viene como anillo al dedo.

  14. Joaquin Corchero dijo:

    El problema 2.4.1 apartado K ¿Da 0?

  15. Javi dijo:

    ¿Podría dar una solución del problema 2.4.1, en la integral J ?

    • Se trata de calcular la integral \displaystyle{J= \int_\gamma \frac{e^{2z}}{z^2-1} dz,} donde \gamma es la circunferencia |z|=4 orientada en sentido antihorario. Tenemos la descomposición en fracciones simples

      \displaystyle{\frac{1}{z^2-1}= \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z+1} \right ),}

      y por lo tanto

      \displaystyle{J=\frac{1}{2} \left ( \int_\gamma \frac{e^{2z}}{z-1} dz -  \int_\gamma \frac{e^{2z}}{z+1} dz \right ),}

      Ahora aplicamos la fórmula integral de Cauchy. Teniendo en cuenta que {\rm Ind}(\gamma,1)={\rm Ind}(\gamma,-1)=1, resulta que

      \displaystyle{ \int_\gamma \frac{e^{2z}}{z-1} dz = 2 \pi i e^2,}

      \displaystyle{ \int_\gamma \frac{e^{2z}}{z+1} dz = 2 \pi i e^{-2},}

      de donde se deduce que J= i \pi (e^2-e^{-2}).

      • javi cruz dijo:

        ¿El resultado no sería un signo positivo?

        Cuando lo hago me sale de la siguiente manera:

        J=1/2*(2*pi*i*exp(2)+2*pi*exp(-2))=
        pi*i*(exp(2)+exp(-2)

        Saludos.

      • Javi, el signo que tú dices es negativo y proviene de la diferencia de las dos fracciones simples.

      • javi cruz dijo:

        Cierto, me lo he comido por toda la cara. Muchas gracias.

  16. Rodrigo dijo:

    Miguel el teorema de Green entra en el examen? por que no se muy bien para que sirbe!!!!
    Otra cosa que no entiendo es como sacas que si es la circunsferencia de radio tal y en que sentido gira de lo ultimo que hemos dado. Para mañana quizas sea y a un poco tarde pero bueno a ver si consigo sacar adelante la asignatura
    venga 1 saludo

    • Rodrigo, el teorema de Green se usa en esta demostración del teorema integral de Cauchy. Afortunadamente, las demostraciones no entran en el examen. Muchos contornos que hemos usado para la integración son circunferencias. La ecuación de una circunferencia de centro z_0 \in \mathbb{C} y radio r>0 viene dada por |z-z_0|=r, por aquello de ser el lugar geométrico de los puntos z en el plano complejo cuya distancia al centro z_0 es igual al radio r. El convenio de orientación para una curva simple cerrada es que tiene orientación positiva si gira en sentido antihorario, por ejemplo, z=e^{it}, \; 0 \leq t \leq 2 \pi es una parametrización de la circunferencia unidad orientada positivamente, mientras que z=e^{-it}, \; 0 \leq t \leq 2 \pi es una parametrización de la misma circunferencia orientada negativamente.

      • Rodrigo dijo:

        aaaaaaaah!!! ahora si ahora si! jeje esque mis apuntes son un poco especiales…. y cualquiera los entiende! jajajajaja
        1 saludo

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