El teorema fundamental del álgebra

Teorema (Gauss, 1799). Todo polinomio no constante con coeficientes complejos posee al menos una raíz compleja.

Demostración. Sea p(z)=a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1z+a_0 un polinomio de grado n \geq 1 con coeficientes complejos. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que p(z) no tiene raíces complejas, es decir, p(z) \neq 0 para todo z \in \mathbb{C}. La función \displaystyle{f(z)=\frac{1}{p(z)}} es entera por ser un cociente de dos funciones enteras cuyo denominador nunca se anula. Tenemos \displaystyle{|p(z)|  \geq |a_n| \cdot  |z|^n - \left ( |a_{n-1}| \cdot |z|^{n-1} + \cdots + |a_1 | \cdot |z| +|a_0| \right),} y por lo tanto

\displaystyle{\frac{|p(z)|}{|z|^n} \geq |a_n| - \left ( \frac{|a_{n-1}|}{|z|} + \cdots + \frac{|a_1 |}{|z|^{n-1}} + \frac{|a_0|}{|z|^n}\right).}

Ahora bien, \displaystyle{\lim_{|z| \to \infty}  \left ( \frac{|a_{n-1}|}{|z|} + \cdots + \frac{|a_1 |}{|z|^{n-1}} + \frac{|a_0|}{|z|^n}\right) =0,} y por lo tanto existe r>0 tal que si |z| \geq r entonces \displaystyle{ \frac{|a_{n-1}|}{|z|} + \cdots + \frac{|a_1 |}{|z|^{n-1}} + \frac{|a_0|}{|z|^n} \leq \frac{|a_n|}{2}.} Resumiendo, si |z| \geq r entonces

\displaystyle{\frac{|p(z)|}{|z|^n} \geq \frac{|a_n|}{2}.}

A continuación observamos que la función f(z) es continua y por lo tanto está acotada en el disco \overline{D}(0,r), es decir, existe C>0 tal que |f(z)| \leq C para todo z \in \mathbb{C} con |z| \leq r. Además, si |z| \geq r entonces \displaystyle{|f(z)| \leq \frac{2r^n}{|a_n|}.} Las dos últimas estimaciones nos permiten deducir que f es una función entera y acotada. El teorema de Liouville viene al rescate para concluir que f(z) es constante. La contradicción ha llegado 😉

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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