El teorema de Liouville

Teorema. Toda función entera y acotada es constante.

Demostración. Digamos que f es una función entera tal que |f(z)| \leq M para todo z \in \mathbb{C}. Fijemos z_0 \in \mathbb{C} y observemos que aplicando las desigualdades de Cauchy tenemos

\displaystyle{|f^\prime(z_0)| \leq \frac{M}{r} \rightarrow 0\;\;\;{\rm cuando }\;\; r \rightarrow \infty.}

Ahora se sigue que f^\prime (z_0)=0 y por lo tanto f es constante, como queríamos demostrar.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
Esta entrada fue publicada en MMI_1011. Guarda el enlace permanente.

Una respuesta a El teorema de Liouville

  1. Pingback: Enlaces yuriesféricos del 24/05/2011 | La Yuriesfera

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s