Desigualdades de Cauchy

Teorema. Sea \Omega \subseteq \mathbb{C} un conjunto abierto, sea z_0 \in \Omega, y sea r >0 tal que el disco cerrado \overline{D}(z_0,r) está contenido en \Omega. Sea f : \Omega \to \mathbb{C} una función holomorfa y supongamos que |f(z)| \leq M para cada z \in \Omega tal que |z-z_0|=r. Entonces para cada k \in \mathbb{N} se tiene

\displaystyle{|f^{(k)}(z_0)| \leq \frac{k!M}{r^k}.}

Demostración Sea \gamma la circunferencia |z-z_0|=r orientada positivamente. Tenemos

\displaystyle{f^{(k)}(z_0)=\frac{k!}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}}dz.}

Ahora bien, si z  \in \gamma entonces \displaystyle{\left | \frac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}} \right | \leq \frac{M}{r^{k+1}},} y además L(\gamma)=2\pi r, luego

\displaystyle{|f^{(k)}(z_0)| \leq \frac{k!}{2\pi} \cdot  \frac{M}{r^{k+1}} \cdot 2\pi r= \frac{k! M}{r^k},}

como queríamos demostrar.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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