Fórmula integral de Cauchy

Teorema. Sea \Omega \subseteq \mathbb{C} un abierto simplemente conexo, sea \gamma una curva cerrada contenida en \Omega, y sea z_0 \in \Omega \backslash \gamma. Si f:\Omega \to \mathbb{C} es una función holomorfa entonces

\displaystyle{f(z_0) \cdot {\rm Ind}\,(\gamma,z_0)= \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}dz.}

Idea de la demostración. Consideramos la función auxiliar g(z) definida para cada z \in \Omega mediante la expresión \displaystyle{g(z)= \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}} si z \neq z_0 y g(z_0)=f^\prime(z_0). Observamos que g es holomorfa en \Omega \backslash \{z_0\} y continua en \Omega. Se sigue del teorema integral de Cauchy que

\displaystyle{0 = \int_\gamma g(z)dz =  \int_\gamma \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} dz = \int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0} dz- f(z_0)  \cdot \int_\gamma \frac{dz}{z-z_0}, }

de donde se deduce que

\displaystyle{\int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0} dz= f(z_0) \cdot 2 \pi i \int_\gamma \frac{dz}{z-z_0}=f(z_0) \cdot  2 \pi i \cdot {\rm Ind}\, (\gamma,z_0),}

como queríamos demostrar.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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