Problema de suma cien

Jaimito quiere escribir números usando cada uno de los diez dígitos de modo que la suma de los números sea cien. Demostrar que nuestro amigo Jaimito no puede hacer esto.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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3 respuestas a Problema de suma cien

  1. Anuska dijo:

    Supongamos el problema resuelto. Si aplicamos la propiedad asociativa de la suma y nos quedamos únicamente con dos sumandos a+b = 100, la cifra de las unidades de a y la cifra de las unidades de b deben sumar 10. Puede ser 9+1, 8+2, 7+3, o 6+4, lo que me deja fuera de combate a las cifras cero y cinco. Eso implica que el cinco solo lo puedo colocar como cifra de las decenas que junto con el cero forma el 50.
    Es decir a= 50 y b= 50.
    El problema se reduce a sumar 50 con el resto de cifras.
    Pero 1+9+8+2+7+3+6+4=40 (me quedo corto) lo que implica que una de las cifras deberá colocarse en las decenas, la cifra más pequeña que puedo formar sería con el 1 en las decenas, lo que me deja colgado al nueve, pues siguiendo el mismo razonamiento tendría, asociando, dos números c+d=50 y las cifras de las unidades deben sumar 10.
    Pero el 9 no puede ir en las decenas (me paso de 50), y lo mismo sucede con todoslos demás pares de cifras. Luego es imposible

    • El razonamiento de Anuska es correcto, pero hay una demostración que parece más sencilla. Razonamos por reducción al absurdo. Suponemos que el problema tiene una solución. La suma de las diez cifras es
      0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =45. Alguna de estas cifras representan unidades y otras cifras representan decenas. Sea d la suma de las cifras que representan decenas. La suma de las cifras restantes, que representan unidades, es igual a 45-d. La suma de los números que escribe Jaimito viene dada por 10d+(45-d)=100. La solución de esta ecuación de primer grado es d=55/9. Este valor de d no es un número entero, y hemos llegado a una contradicción.

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