El teorema integral de Cauchy

Teorema. Sea \Omega \subseteq \mathbb{C} un abierto simplemente conexo, y sea \gamma una curva simple cerrada de clase C^1 a trozos contenida en \Omega. Si f:\Omega \to \mathbb{C} es una función holomorfa entonces

\displaystyle{\oint_\gamma f(z)dz=0.}

Idea de la demostración. Sea f= u +iv. Tenemos las ecuaciones de Cauchy Riemann

\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \;\;\; \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}.}

La integral de contorno se descompone en partes real e imaginaria

\displaystyle{\oint_\gamma f(z)dz= \oint_\gamma udx-vdy + \oint_\gamma vdx + udy.}

Sea \Omega_0 \subseteq \Omega la región delimitada por la curva \gamma. Suponiendo que u, v \in C^1 y aplicando el teorema de Green resulta

\displaystyle{\oint_\gamma udx-vdy= \iint_{\Omega_0} \left ( -\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right )dxdy=0,}

\displaystyle{\oint_\gamma vdx+udy= \iint_{\Omega_0} \left ( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \right )dxdy=0,}

como queríamos demostrar.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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