Las integrales eulerianas

La función gamma de Euler es una de la funciones más importantes del Análisis. Esta función se define mediante una integral impropia que depende de un parámetro p>0.

\displaystyle{\Gamma (p) := \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x}dx}.

La función beta de Euler no es menos importante y también se define mediante otra integral impropia que depende de dos parámetros p, q >0.

\displaystyle{\beta (p,q) := \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1}dx}.

La siguiente identidad revela una estrecha relación entre ambas integrales eulerianas.

\displaystyle{\beta(p.q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.}

El cambio de variable x = \sin \theta arroja una expresión alternativa para la función beta.

\displaystyle{\beta(p,q)= 2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1} \theta \cos^{2q-1} \theta d \theta.}

Al particularizar esta expresión cuando \displaystyle{p=q=\frac{1}{2}} resulta que \displaystyle{\beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi,} y al combinar este resultado con la relación entre ambas integrales eulerianas se obtiene \displaystyle{\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}.}

Volviendo al post anterior, la integral gaussiana se puede calcular fácilmente a partir de este valor de la función Gamma. El cambio de variable x=y^{1/2}\; facilita el cálculo.

\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2}dx = \int_0^\infty y^{-1/2}e^{-y}dy = \Gamma(\frac{1}{2})= \sqrt{\pi}.}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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