Series complejas de potencias

Este post está dedicado a series complejas de potencias, es decir, funciones de la forma

\displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n},

donde los coeficientes (a_n) y el centro de la serie z_0 son números complejos. El primer problema que se plantea es hallar el dominio donde la serie de potencias es convergente.

Se define el radio de convergencia R de la serie mediante la fórmula

\displaystyle{\frac{1}{R} = \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.}

Si queremos aplicar el criterio de la raíz tenemos

\displaystyle{\limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n(z-z_0)|} = \frac{|z-z_0|}{R},}

y de aquí se deduce fácilmente el siguiente

Teorema 1. Supongamos que \displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n} es una serie compleja de potencias cualquiera cuyo radio de convergencia R viene dado por la fórmula anterior.

  1. Si |z-z_0|<R entonces la serie converge absolutamente.
  2. Si |z-z_0|>R entonces la serie no converge.

Tenemos por lo tanto que hay convergencia absoluta en el disco abierto D(z_0,R), y que hay divergencia fuera del disco cerrado \overline{D}(z_0,R). El comportamiento de la serie sobre la frontera \partial D(z_0,R) es una cuestión mucho más difícil que no vamos a considerar y sólo comentaremos que existen series de potencias que convergen sobre la frontera, series de potencias que no convergen en ningún punto de la frontera, y series de potencias en las que se da un caso intermedio.

Teorema 2 . Supongamos que \displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n} es una serie compleja de potencias cualquiera cuyo radio de convergencia R viene dado por la fórmula anterior. Entonces f es derivable en D(z_0,R), y además, para cada z \in D(z_0,R) se tiene

\displaystyle{f^\prime(z)=\sum_{n=1}^\infty n a_n (z-z_0)^{n-1}.}

Corolario. Supongamos que \displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n} es una serie compleja de potencias cualquiera cuyo radio de convergencia R viene dado por la fórmula anterior. Entonces f admite derivadas de todos los órdenes en D(z_0,R) y además, para cada z \in D(z_0,R) se tiene

\displaystyle{f^{(k)}(z)=\sum_{n=k}^\infty n(n-1) \cdots (n-k+1) a_n (z-z_0)^{n-k}.}

En particular, los coeficientes de la serie de potencias son los coeficientes de Taylor de f,\; es decir,

\displaystyle{a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}.}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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