Otra vez Fibonacci

Este post tiene por objeto el cálculo de una expresión cerrada para los términos de la sucesión de Fibonacci mediante el uso de series de potencias.

Consideramos la sucesión de Fibonacci (F_n) definida por medio de la condiciones iniciales F_1=F_2=1  y mediante la relación de recurrencia F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.   Ahora construimos una serie compleja de potencias centrada en el origen

\displaystyle{f(z)= \sum_{n=1}^\infty F_n z^{n-1}.}

El radio de convergencia de esta serie viene dado por la expresión

\displaystyle{\frac{1}{R}= \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{F_n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi,}

donde \displaystyle{\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}} es la razón áurea. Usando la relación de recurrencia, es fácil observar que para |z| < \varphi^{-1} se tiene f(z)-zf(z)-z^2f(z)=1, es decir, \displaystyle{f(z)=\frac{1}{1-z-z^2}.}   Ahora tenemos la descomposición en fracciones simples

\displaystyle{\frac{1}{1-z-z^2}= \frac{1}{\sqrt{5}} \left ( \frac{1}{\varphi + z} + \frac{1}{\varphi^{-1} - z} \right )}

Usando sendos desarrollos en serie de potencias para ambas fracciones simples resulta

\displaystyle{\frac{1}{\varphi + z}= -\sum_{n=1}^\infty (-\varphi^{-1})^n z^{n-1},}            \displaystyle{\frac{1}{\varphi^{-1} - z}= \sum_{n=1}^\infty \varphi^n z^{n-1}}.

Combinando las identidades anteriores obtenemos el desarrollo en serie de potencias

\displaystyle{f(z)= \frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{n=1}^\infty \left [ \left ( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right )^n -\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )^n \right ] z^{n-1},}

y comparando los coeficientes en este desarrollo con aquellos en la definición de f(z), llegamos a una expresión cerrada para el término general de la sucesión de Fibonacci:

\displaystyle{F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}  \left [ \left ( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right )^n -\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )^n \right ] .}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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2 respuestas a Otra vez Fibonacci

  1. Pingback: Enlaces yuriesféricos del 16/05/2011 | La Yuriesfera

  2. am dijo:

    La formula cerrada para lo sucesion esta incorrecta

    es (1+raiz de 5 )/2 todo al cubo – (1-raiz de 5)/2 todo al cubo y todo multiplicado por(1/raiz de5)

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