La desigualdad de Schwarz

Proposición Si X,Y son dos variables aleatorias entonces se tiene la desigualdad \mathbb{E}(XY)^2 \leq \mathbb{E}(X^2) \mathbb{E}(Y^2). La igualdad se cumple si y sólo si existe \lambda \in \mathbb{R} tal que Y= \lambda X.

Demostración. Consideramos la función p(\lambda)=\mathbb{E}[(\lambda X -Y)^2]. Observamos que p(\lambda) \geq 0 y además p(\lambda)= \mathbb{E}(X^2) \lambda^2 - 2\mathbb{E}(XY) \lambda + \mathbb{E}(Y^2), de modo que p(\lambda) es un polinomio de segundo grado que tiene a lo sumo una raíz real. Se sigue que el discriminante de este polinomio no es positivo, es decir, \mathbb{E}(XY)^2 - \mathbb{E}(X^2) \mathbb{E}(Y^2) \leq 0. Esto prueba la desigualdad de Schwarz. Además la igualdad se cumple cuando el discriminante se anula, y en tal caso existe \lambda \in \mathbb{R} tal que \mathbb{E}[( \lambda X-Y)^2]=0, es decir, Y=\lambda X.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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