El problema de Monty Hall

El problema de Monty Hall es un rompecabezas en teoría de probabilidad que está basado en el concurso televisivo norteamericano Let’s make a deal. El nombre del problema viene del primer presentador del programa, Monty Hall.

Al concursante se le presentan tres puertas cerradas. Detrás de una puerta hay un coche y detrás de las otras dos puertas hay sendas cabras. El concursante elige una puerta y entonces el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra puerta y aparece una cabra. El presentador le da al concursante la opción de cambiar de puerta.

Monty Hall

¿Debe el concursante mantener su elección original o debe elegir ahora la otra puerta? ¿Tiene alguna ventaja el cambiar de elección?

Como el concursante no sabe cuál de las dos puertas restantes es la ganadora, y como inicialmente las tres puertas tienen las mismas posibilidades, la mayoría de la gente tiende a pensar que las dos puertas restantes tienen la misma probabilidad y concluye que no importa cambiar de elección. Sin embargo, el jugador debe cambiar su elección, pues al hacerlo, duplica la probabilidad original desde 1/3 de ganar el premio hasta 2/3.

Una explicación de este resultado se basa en considerar los siguientes sucesos aleatorios. A_i= el coche está detrás de la puerta i-ésima, B_i= el concursante elige la puerta i-ésima, C_i= el presentador abre la puerta i-ésima. Como el coche tiene la misma probabilidad de estar detrás de cualquiera de las tres puertas, tenemos P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/3. Como la elección inicial del jugador es independiente de la posición del coche, los sucesos A_i,B_j son independientes, es decir, P(A_i|B_j)=P(A_i). Resulta que el comportamiento del presentador queda reflejado en los valores de la probabilidad condicionada

\displaystyle{P(C_i | A_j \cap B_k)= \left \{ \begin{array}{lll}0 & \text{si }i=j & \text{(presentador no abre puerta donde est\'a coche),}\\  0 & \text{si }i= k & \text{(presentador no abre puerta que elige jugador),}\\  1/2 & \text{si }i \neq j =k \neq i & \text{(ambas puertas sin coche igualmente probables),}\\  1 & \text{si }i \neq j \neq k \neq i & \text{(solamente se puede abrir una puerta).}  \end{array} \right.}

Ahora podemos calcular la probabilidad de encontrar el coche detrás de cualquier puerta, después de la elección inicial y que el presentador abra una de las puertas. Se trata pues de calcular la probabilidad del suceso A_{i_0} condicionado por el suceso B_{j_0} \cap C_{k_0}. Tenemos

\displaystyle{P(A_{i_0} | B_{j_0} \cap C_{k_0})= \frac{ P(A_{i_0} \cap B_{j_0} \cap C_{k_0})}{P(B_{j_0} \cap C_{k_0})}= \frac{P(C_{k_0}|A_{i_0} \cap B_{j_0})P(A_{i_0} | B_{j_0})}{P(C_{k_0} |B_{j_0})},}

donde la probabilidad condicionada P(C_{k_0} |B_{j_0}) en el denominador se puede calcular aplicando el teorema de la probabilidad total,

\displaystyle{P(C_{k_0} |B_{j_0})= \sum_{i=1}^3P(A_i \cap C_{k_0} |B_{j_0})=\sum_{i=1}^3 P( C_{k_0} | A_i \cap B_{j_0}) P(A_i | B_{j_0}).}

Ahora, si el concursante elige inicialmente la puerta 1 y el presentador abre la puerta 3 entonces la probabilidad de ganar el coche cambiando de elección es igual a

\displaystyle{P(A_2 | B_1 \cap C_3) = \frac{1 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} }=\frac{2}{3}.}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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5 respuestas a El problema de Monty Hall

  1. Reformulando el problema para el problemas de n puertas, y solo quedan dos( la elegida de primera hora y la que falta por abrir) la que falta por abrir tendría (n-1)/n probabilidad de salir no?

    • Joaquín, cuando n=4 hay que adaptar el razonamiento. Aquí P(A_i)=1/4, P(A_i|B_j)=P(A_i) y la probabilidad condicional P(C_i|A_j \cap B_k) toma los valores 0, 1/3, 1/2. ¿Puedes seguir?

      • voy a realizarlo aver que sale aunque ya dialogamos de ello en clase pero quiero verlo mediante los teoremas que damos en clase.

        Otra cuestión, en el problema 27 existe una errata. por que el problemas habla de abrigos y al final preguntan sobreros, obviamente, serán abrigos. (Si no la probabilidad sería 0 jejeje)

      • Joaquín, gracias por advertir el gazapo del problema 27.
        Saludos,
        Miguel

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