El problema de los cumpleaños

¿Cuál es el mínimo número de personas para que dos de ellas, con una probabilidad mayor o igual que 1/2, tengan la misma fecha de cumpleaños?

La solución a este problema es 23 personas. Se alcanza una probabilidad de 0.99 con solamente 57 personas. Este resultado se conoce como paradoja de los cumpleaños.

Consideremos el problema de calcular la probabilidad p_n de que en un grupo de n personas haya una coincidencia. Una buena forma de atacar este problema consiste en considerar el suceso contrario, es decir, que las fechas de cumpleaños sean distintas. Tenemos

\displaystyle{1-p_n= \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \cdots \cdot \frac{365-n+1}{365}= \left (1- \frac {1}{365}\right ) \cdot \left (1- \frac {2}{365}\right ) \cdot \cdots \cdot \left (1- \frac {n-1}{365}\right ).}

Aplicando la desigualdad 1-x \leq e^{-x} en esta identidad resulta

\displaystyle{1-p_n= \prod_{k=1}^{n-1} \left ( 1- \frac{k}{365} \right ) \leq \prod_{k=1}^{n-1} e^{-k/365}= \exp \left ( -\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{365} \right )= \exp \left (- \frac{n^2-n}{730}\right).}

La anterior expresión proporciona una cota superior para 1-p_n. Ahora queremos hallar el menor n tal que p_n \geq 1/2, es decir, 1- p_n \leq 1/2. Esta desigualdad se verifica siempre que \displaystyle{ \exp \left (  - \frac{n^2-n}{730} \right ) \leq \frac{1}{2},} es decir, n^2-n  \geq 730 \log 2. Al resolver esta inecuación resulta finalmente \displaystyle{n \geq \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+730 \log 2} = 22.999943 \cdots .}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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3 respuestas a El problema de los cumpleaños

  1. laura izquierdo raffo dijo:

    miguel soy una alumna de metodos matematicos 1 podrias poner la resolucion del problema 4 de la relacion de ejercicios 1.1
    un saludo,Gracias!

    • Un fabricante de automóviles ofrece vehículos con las siguientes opciones: con o sin transmisón automática, con o sin aire acondicionado, con o sin sistema de radio estéreo, con tres posibles colores. ¿Cuál es el número de distintos vehículos que puede ofrecer?

      La solución es n=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24, un factor de 2 para la opción de la transmisión automática, otro factor de 2 para la opción del aire acondicionado, otro factor de 2 para la opción de la radio estéreo, y un factor de 3 para la opción del color.

      Saludos,
      Miguel

  2. filomates dijo:

    Tema muy interesante, no hay más que leer los comentarios para comprobar que es antiintuitivo. En muchas páginas de internet se trata el tema, no sólo en wikipedia.

    Recomiendo una página donde se trata el tema pero también se citan direcciones interesantes sobre el asunto.

    http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2013/03/el-problema-o-paradoja-del-cumpleanos.html

    En general, casi todo lo que atañe a la probabilidad contradice bastante a la intuición.
    Te recomiendo que busques en google la frase “el azar no tiene memoria” para profundizar sobre el tema.

    Además la página siguiente contiene información sobre otra paradoja relacionada con la probabilidad: el problema de Monty Hall
    http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2012/12/paradoja-de-monty-hall.html

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