Foro abierto I

Se me ocurre que podéis preguntar las dudas y sugerencias que tengáis de cara al examen en los comentarios de esta entrada.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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64 respuestas a Foro abierto I

  1. Marina dijo:

    Me gustaría saber qué día va a colgar las soluciones a los problemas de la relación. Gracias por adelantado.

  2. Fran dijo:

    Miguel,tengo dos preguntas:
    1)En la existencia de conjuntos no medibles,cuando vamos a probar por reducción al absurdo que S no es medible,decimos que si S es medible => Sj es un conjunto medible,¿eso es porque como rj y S son medibles,entonces su unión(que sería Sj) es medible?¿Y rj es medible porque es un intervalo abierto?, luego cuando decimos que m(Sj) = m(S),esa igualdad que sería porque al ser rj numerable,entonces su medida es cero,¿no?.
    2) Cuando decimos M gótica,¿siempre nos estamos refieriendo a una familia de conjuntos medibles?esque en la introducción de la medida de Lebesgue la consideramos solamente como una familia de conjuntos de números reales.
    Gracias.

    • Fran:
      1º Creo recordar que S_j= r_j + S. Si S fuera medible entonces S_j también sería medible por ser el trasladado de un conjunto medible. Además m(S_j)=m(S) pues la medida de Lebesgue es invariante por traslaciones. Pincha aquí para repasar el problema 5.3 y el problema 5.5.
      2º Antes de construir la medida de Lebesgue se hizo una introducción informal donde se hablaba de una familia \mathcal{M} de conjuntos de números reales, lo más amplia posible. Después se da una definición rigurosa donde \mathcal{M} representa la familia de todos los conjuntos medibles Lebesgue. Pincha aquí para repasar aquella introducción informal y la definición rigurosa de Carathéodory.
      Saludos,
      Miguel

  3. fran dijo:

    Miguel,en el ejercicio 1 de la relación 6,¿bastaría con hacer la función característica a ambos lados de la igualdad,ver que nos dan lo mismo y fin?
    En el ejercicio 6 de esta misma relación,cuando nos preguntan el máximo valor de f4,¿podríamos decir que sería igual al límite de la sucesión que la aproxima y ya está?,pues esta es creciente para todo x real y n natural; luego cuando nos preguntan los distintos valores en el rango de f4 no sé a que se refiere.
    Gracias

    • Fran:
      1º Tienes que establecer una casuística en el ejercicio 6.1 para comprobar la igualdad como tú dices. Me refiero, por ejemplo, a que en el apartado (a) debes distinguir los siguientes casos: (i) x \in A y x \in B, (ii) x \in A y x \notin B, (iii) x \notin A y x \in B, y (iv) x \notin A y x \notin B. Después calculas los valores en ambos lados de la igualdad para cada caso y listo.
      2º Donde dice f_4 debería decir s_4. El máximo valor de s_4 es igual a 4. Cuando x <0, se tiene s_4(x)=0, y cuando 0 < x < 4, el rango de s_4 consta de 2^4=16 valores.

  4. Asun dijo:

    Miguel, no entiendo demasiado bien el ejercicio 5 de la relación 6, pues si hemos probado en el 4 que g·f es medible con las características que nos dan de f y g, ¿cómo es posible que después nos pidan un contraejemplo en el 5, o es que acaso lo que hay que probar en el 4, es que es falso? Gracias

    • Asun, es obvio que hay una errata. El enunciado del problema 6.4está bien pero en el enunciado del problema 6.5, donde dice g \circ f debería decir f \circ g. Gracias por el comentario y un saludo,
      Miguel

  5. fran dijo:

    En el ejercicio 7,para probar que f= 0 c.t.p,he dicho que tiene que cumplirse C= {x real: f(x) distinto de cero } tenga medida nula,entonces para probar esto he usado la reducción al absurdo,entonces :
    Suponemos que C no tiene medida nula,i.e, m (C) distinto de cero,entonces existe x real: f(x) distinto 0,entonces : 0<= s 0 ,¿este paso está bien?.
    En el ejercicio 8,¿basta que lo pruebe para funciones simples?

    • Fran, ahora tengo que salir a hacer un mandaíto, pero en la sobremesa atenderé tu consulta.
      Un saludo,
      Miguel

      • fran dijo:

        De todos modos está mal escrito,te lo he enviado al correo para no liar a los compañeros y ya si lo ves bien,lo copio aquí.

    • Fran:
      Sea f una función medible no negativa, sea E=\{x \in \mathbb{R}: f(x)>0\} y sea E_n=\{x \in \mathbb{R}: f(x) >1/n\}. Tenemos \displaystyle{E = \bigcup_{n=1}^\infty E_n\}.} Además m(E_n)=0 para todo n \in \mathbb{N} pues en caso contrario existe n_0 \in \mathbb{N} tal que m(E_{n_0})>0 pero entonces \displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f \geq \int_{E_{n_0}}f \geq \frac{1}{n_0}m(E_{n_0})>0,} lo cual es una contradicción. Finalmente, como la medida de Lebesgue es numerablemente subaditiva, resulta que \displaystyle{m(E) \leq \sum_{n=1}^\infty m(E_n)=0.} Conclusión: f=0 c.t.p.

      El ejercicio 6.8 se resuelve primero cuando f,g son funciones simples, después cuando f=0 y g es medible y no negativa, y finalmente cuando f,g son medibles y f \leq g..

      Como he contestado a Marina en un comentario anterior, antes del fin de semana publicaré una clave de soluciones.

      Saludos,
      Miguel

  6. luis dijo:

    buenas, he estado intentado hacer el ejercicio 4, pero hay un paso de la demostración que no se como justificarlo. Consiste en demostrar que g^(-1)(B), siendo B un boreliano y g una función continua, es también un boreliano. Supongo que es cierto puesto que la imagen inversa de un abierto por una función continua es abierto pero no se justificarlo completamente.

    • Luis (¿González o Morillo?), considera la familia de conjuntos \mathcal{A}=\{A \subseteq \mathbb{R}: g^{-1}(A) \in \mathcal{B}\}. Intenta probar que \mathcal{A} es una \sigma-álgebra. Una vez hayas probado esto, resulta que \mathcal{A} contiene a los conjuntos abiertos por ser g una función continua. Conclusión: \mathcal{A} \supseteq \mathcal{B}, Q.E.D.

  7. Asun dijo:

    Tengo una duda sobre la diferencia entre el Teorema de Convergencia Monótona y el de Convergencia Dominada. La conclusión a la que llegamos es la misma con los dos no?? Solo cambian las hipótesis entre uno y otro?? Gracias

    • Asun, me alegra que hagas esa pregunta, porque es bueno comparar estos dos importantes teoremas. Está claro que si f es integrable, entonces el teorema de la convergencia monótona es un caso especial del teorema de la convergencia dominada, pero la ventaja del lema de Fatou y el teorema de la convergencia monótona es que son aplicables incluso cuando f no es integrable, y son una buena forma de probar que f es integrable.

      Saludos,
      Miguel

  8. Pedro dijo:

    Miguel, ¿podrias resolver el ejercicio 6 de la relacion 1?
    Gracias

    • Pedro, ese problema lo expliqué en clase como parte de la teoría. Pienso que debemos centrarnos de momento en la integral de Lebesgue y no en las integrales impropias.

      Saludos,
      Miguel

      • Pedro dijo:

        Disculpa Miguel de la Relación 1 no que me he equivocado. De la relación 5.

    • Pedro, se trata de probar que si E, F \subseteq \mathbb{R} son medibles entonces

      \displaystyle{m(E \cup F)=m(E)+m(F)-m(E \cap F).}

      Comenzamos por observar que E \cup F se descompone como la unión de tres conjuntos disjuntos del siguiente modo:

      \displaystyle{E \cup F=(E \backslash F) \cup (F \backslash E) \cup (E \cap F).}

      Ahora se sigue que

      \displaystyle{m(E \cup F)=m(E \backslash F) + m (F \backslash E) + m (E \cap F) .}

      Finalmente, E \backslash F = E \backslash (E \cap F) y F \backslash E = F \backslash (E \cap F), y como m(E \backslash (E \cap F))= m(E)-m(E \cap F) y m(F \backslash (E \cap F))= m(F)-m(E \cap F),

      se obtiene la identidad deseada.

      Saludos,
      Miguel

      • Pedro dijo:

        Si es así, en los problemas hay una errata ya que los signos son todos de sumas.

        Gracias.

      • Pedro, la conclusión del razonamiento anterior es que

        \displaystyle{m(E \cup F) = m(E)+m(F)-m(E \cap F),}

        o de forma equivalente

        \displaystyle{m(E)+m(F) = m(E \cup F) +m(E \cap F),}

        igual que en la relación de problemas. Es decir, que no hay una errata, sino simple despiste 😉

  9. Asun dijo:

    Respecto a la pregunta del ejercicio que le ha hecho Luis,¿podríamos razonarlo de la siguiente manera?

    (g∘f)^(-1 ) (B) = f^(-1) (g^(-1) (B) ) = f^(-1) (C) es medible.

    Esto se tendría para todo conjunto de Borel B abierto. La 2ª igualdad se produce porque g es continua y la imagen inversa de un abierto es otro abierto(C). Por último concluimos que es dicho conjunto es medible pues f es medible.

    Otra duda que tengo es si al final va a subir la clave de soluciones. Gracias

    • Asun:

      1º Pedro dice que si g es continua y B \subseteq \mathbb{R} es un conjunto de Borel entonces g^{-1}(B) también es un conjunto de Borel. Esto es cierto, tal y como he demostrado en contestación a su comentario, y se puede usar para resolver el problema.

      2º Tu enfoque del problema también es correcto y se puede simplificar un poco. Si f es medible, g es continua y \alpha \in \mathbb{R} entonces g^{-1}(-\infty, \alpha) es un conjunto de Borel (de hecho es abierto por ser la imagen inversa de un abierto mediante una función continua). Ahora se sigue que (g \circ  f)^{-1}(-\infty,\alpha)= f^{-1}(g^{-1}(-\infty, \alpha)) es medible porque f es medible. Conclusión: La función compuesta g \circ f es medible.

      3º Publicaré esta noche las soluciones a la relación nº6 y mañana las soluciones a la relación nº7.

      Saludos,
      Miguel

    • Ana del Valle dijo:

      una cosa, ¿no seria asi?:
      (g∘f)^(-1 ) (B) = g^(-1) (f^(-1) (B) )
      lo que está escrito en el comentario de Asun es f∘g, no?

      • Ana del Valle dijo:

        ya me he dado cuenta de que lo que acabo de poner esta mal

  10. Jesús dijo:

    Miguel, ¿podría dar algún ejemplo para el ejercicio 10 de la relación 5? intento encontrar alguno pero no soy capaz.
    Gracias.

    • Jesús, sea (S_j) la sucesión de conjuntos en la construcción de un conjunto no medible. Tenemos \displaystyle{\bigcup_{j=1}^\infty S_j \subseteq [-1,2],} luego \displaystyle{m^\ast(\bigcup_{j=1}^\infty S_j ) \leq 3.} Además, como la medida exterior es invariante por traslaciones, existe \alpha >0 tal que m^\ast (S_j)= \alpha para todo j \in \mathbb{N}, luego \displaystyle{\sum_{j=1}^\infty m^\ast(S_j)=\infty.}

      Saludos,
      Miguel

  11. Ana dijo:

    Miguel, por favor, me gustaría que cogaras las soluciones de los ejercicios lo antes posible. Gracias

  12. Asun dijo:

    Disculpe, pero podría explicar con un poco más de detalle de donde sale la función s4 del ejercicio 5.6. Gracias

    • Asun, en la demostración del teorema 4 se construye una sucesión s_n de funciones simples no negativas que aproxima a una función medible no negativa f. Estas funciones vienen dadas por

      \displaystyle{ s_n:= n \chi_{E_n} + \sum_{k=1}^{n2^n}\frac{k-1}{2^n} \chi_{E_{n,k}},}

      donde E_n = f^{-1}(n,\infty) y E_{n,k}:=f^{-1}((k-1)/2^n, k/2^n]).

      El ejercicio 5.6 se refiere a la función f(x)=x si x>0 y f(x)=0 en otro caso. Resulta entonces que E_4=(4,\infty) y E_{4,k}= ((k-1)/2^4,k/2^4], luego

      \displaystyle{s_4= 4 \chi_{E_4} + \sum_{k=1}^{4 \cdot 2^4} \frac{k-1}{2^4} \chi_{((k-1)/2^4,k/2^4]}.}

      Espero que esto sirva para aclarar un poco el asunto.
      Saludos,
      Miguel

  13. Jesús dijo:

    Hola Miguel, creo que hay una errata en la solucion del ejercicio que acaba de preguntar Asun, realmente el sumatorio no llega hasta n(2^n) sino a n(2^n)-1 por tanto, la solucion al apartado b serían 64 valores pues tenemos 63=4(2^4)-1 más el valor del cero luego tenemos 64 valores.
    Por otra parte quería comentarle la solución del ejercicio 5 de la relación 6 , que me ha dejado bastante preocupado de cara al examen por su complejidad a la hora de resolverlo pues creo que nosotros aun no tenemos las “armas” suficiente para abordar ese tipo de ejercicios. Entonces mi pregunta es si es un ejercicio puesto para que pensemos o es un ejercicio que podría caer en el examen.
    Un saludo y gracias.

    • Jesús:
      1º La errata se encuentra realmente en los apuntes porque la suma debería llegar hasta n \cdot 2^n, pero tu observación es consistente con lo que hay.
      2º Estoy de acuerdo en que la solución del problema 6.5 es bastante complicada, aunque no conozco una construcción más sencilla. Puedes estar tranquilo porque no voy a ser tan exigente en el examen. La idea era añadir esta curiosidad teórica a los problemas, pero quizás debería haber advertido de la dificultad.
      3º El mismo ejemplo del problema 5.6 sirve para construir un conjunto medible que no es boreliano. ¿Alguien se atreve a sugerir una posible construcción de tal conjunto?

  14. Jesús dijo:

    Por cierto Miguel, creo que tengo una resolución algo mas sencilla a la que usted da para el ejercicio 7 relación 6, aquí lo expongo:
    Si f medible no negativa, entonces su integral:= sup{integrales de s, con s simple y 0<=s<=f}, como por hipótesis integral de f =0 tenemos que el supremos de las funciones simples es cero, luego solo nos queda la posibilidad con las condiciones dadas de que la integral de s, sea cero y esto ocurre cuando s es cero ó cuando s =0 c.t.p luego esto nos implica que f=0 c.t.p..
    Sé que así explicado puede sonar raro peor por ahora no se utilizar LATEX espero que se me comprenda lo que quiero decir.

    • Jesús, entiendo que tu idea es la siguiente:
      Si \int f=0 entonces, por la definición de integral de una función medible no negativa tenemos \int s=0 y por lo tanto s=0 c.t.p. para cualquier función simple s tal que 0 \leq s \leq f. Intenta probar a partir de aquí que f=0 c.t.p. y verás como aparecen dificultades.

      Saludos,
      Miguel

  15. Asun dijo:

    Miguel, tres preguntas:
    1. ¿Qué relación hay entre las funciones simples y medibles? Quiero decir una función es simple si y solo si es medible o solo se da una de las implicaciones

    2.La integral de Lebesgue de cero es cero, verdad? Sé que puede parecer una tontería pero es una duda que me ha surgido en más de una ocasión y creo que es conveniente preguntarlo.

    3.El ejercicio 5.7 he intentado resolverlo mediante la doble desigualdad, pero solo he podido resolver una de ellas (<=) . Sin embargo no sé si el procedimiento es correcto pues he usado desigualdades entre medida exterior y medida de Lebesgue. Se lo expongo aquí:
    m(A ∩ ⋃_(n=1)^∞ En)<= m*A ∩ ⋃_(n=1)^k En)= suma finita (m* (A∩En))<= suma infinita (m(A∩En)). La otra desigualdad me ha sido imposible descifrarla. No sé si esta es la mejor forma de hacer el ejercicio, pero es la única que se me ha ocurrido.

    Gracias

    • Asun:

      1º Una función simple es cualquier función de la forma \displaystyle{ f=\sum_{j=1}^n a_j \chi_{A_j},} donde a_j \in \mathbb{R} y cada A_j \subseteq \mathbb{R} es un conjunto medible. Es decir, una función simple es cualquier combinación lineal de funciones características de conjuntos medibles.

      2º Una función f es medible si f^{-1}(B) es medible para cada conjunto de Borel B \subseteq \mathbb{R}. Equivalentemente, f es medible si f^{-1}(\alpha, \infty) es medible para cada \alpha \in \mathbb{R}. Cualquier combinación lineal de funciones medibles es medible. Está claro que cualquier función característica es medible, luego toda función simple es medible.

      3º Redundando en lo que he escrito antes, una función simple es una función medible cuyo rango es finito. Está claro entonces que hay muchas funciones medibles que no son simples, dado que cualquier función continua es medible.

      4º Comprendo que te preguntes acerca de algo que parece trivial pero que hay que demostrar. Puedes escribir 0= 1 \cdot \chi_{\mathbb{\emptyset}} de modo que \int 0= 1 \cdot m(\emptyset)=0.

      5º El enunciado del problema 5.7 contiene dos erratas, porque donde dice medida debería decir medida exterior. Publicaré un comentario aparte con la solución de este problema.

      Saludos,
      Miguel

  16. Acabo de publicar la clave de soluciones para la relación de problemas nº7, que se puede descargar en formato PDF desde la pestaña Soluciones.

  17. Ana. H dijo:

    Hola Miguel. Soy Ana Pereira y solamente quería recordarle que para mi examen puede también incluir preguntas del tema de Serie de Potencias.

    Saludos

    Ana. H

  18. Asun dijo:

    Miguel, tengo varias dudas acerca del ejercicio 7.2:

    -En dicho ejercicio no estamos siguiendo ninguno des teoremas de convergencia, verdad?
    -Cuando dice que x^(3/2)>= x^2, en el paso siguiente toma la integral en valor absoluto.Mi pregunta es porque toma valor absoluto y se toma simplemente la integral de la función.
    -Para resolver la integral, ¿hace un cambio de variable nx=t? Si es así no entiendo de donde sale uno de los extremos (1/n) pues si x=1, t=n, no?

    Por otra parte en el ejercicio 7.3, nos dice que apliquemos el teorema de la convergencia monótona, pero después usted usa el Teorema de la Convergencia Dominada. ¿Podría resolverse el problema de la misma forma que ustede lo ha hecho pero sin decir que |fn(x)|<=|f(x)|?

    Gracias.

  19. Asun:
    1º La solución del ejercicio 7.2 comienza por destacar que el teorema de la convergencia dominada no es aplicable. El ejercicio hay que resolverlo a pelo.
    2º Queremos probar que \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} f_n=0} y para ello usamos la estimación

    \left | \int f_n \right | \leq \int |f_n| \leq \arctan (1/n).

    La alternativa que sugieres

    \displaystyle{\int  f_n \leq \arctan (1/n)}

    no implica que \displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n=0}.
    3º Tienes razón en los extremos de integración. He de corregir entonces la solución
    4º Me he visto obligado usar el teorema de la convergencia dominada en el ejercicio 7.4 porque la sucesión que considero no es necesariamente monótona.

    Saludos,
    Miguel

  20. Escribo este comentario para corregir la solución al ejercicio 7.2, que como bien ha indicado Asun, es incorrecta. Tenemos la estimación

    \displaystyle{\int_0^1 \left| \frac{n \cos x}{1+n^2x^{3/2}} \right |  dx \leq  \int_0^1 \frac{n}{1+n^2x^{3/2}}\,dx = n^{-1/3} \int_0^1\frac{n^{4/3}}{1+n^2x^{3/2}}\,dx.}

    Ahora practicamos el cambio de variable t = n^{4/3}x y la anterior expresión se convierte en

    \displaystyle{n^{-1/3} \int_0^{n^{4/3}} \frac{dt}{1+t^{3/2}} \leq  n^{-1/3} \int_0^{\infty} \frac{dt}{1+t^{3/2}},}

    y esta nueva expresión tiende a cero cuando n \rightarrow \infty.

    Saludos,
    Miguel

  21. Asun dijo:

    Disculpe Miguel, ¿podría decir en un comentario como se pueden hacer los ejercicios 5.7 y 5.9. Gracias

    • Asun:
      Publicaré en breve esas soluciones, pero ahora mismo voy a dar un paseo con mi perro, y después voy a cenar y a ver una película con mi mujer 😉
      Miguel

  22. Andrés dijo:

    Miguel, tengo una duda en la resolución del ejercicio 3 de la relación 6.
    Si considero B=(-inf,alfa) conjunto de Borel y la imagen inversa de B mediante f, ya tendría la definición de funcion medible por lo que ya quedaría demostrado por definición que f es medible, ¿no?

  23. Ana del Valle dijo:

    Miguel, me acabo de dar cuenta de que en la solución al ejercicio 2 de la relación 6 cuando pone “f+g=…” y pone la representación canónica de f más la representación canónica de g, en la de f pone una “r” dentro del sumatorio y no se si esa r es una errata o es otra cosa.
    gracias

  24. Ana, me parece que es una errata.
    Gracias y un saludo,
    Miguel

  25. Ana del Valle dijo:

    Yo no entiendo bien en el ejercicio 7 de la relación 6 el razonamiento que hace para saber que m(En)=0
    ¿Los conjuntos de la forma {x= (Cn) } (con (Cn) una sucesión que tienda a 0 cuando n tiende a infinito) tienen medida 0?

    gracias

  26. Ana. H dijo:

    Miguel, los ejercicios del examen ¿serán similar a los expuestos en clase verdad?Son demasiados ejercicios y algunos bastantes complicados.

    Saludos

    Ana. H

  27. Pedro dijo:

    Miguel, en el ejercicio 4 de la relación 7, ¿cómo llegas a la conclusión de que la integral de Lebesgue en R de f_n (x) dx =1?

    En el ejercicio 5 de la misma relación se plantea una integral similar; supongo que se resolverá de la misma forma. ¿Es así?

    Gracias

  28. Asun dijo:

    Miguel, tengo varias dudas acerca de la resolución del ejercicio 5.9:

    -¿Por qué decimos que la union infinita está contenida en el intervalo (-2,3]?Despúes llegamos a una conclusión que dice que sólo si es posible si m(E)=0 ¿Por qué?

    -¿Por qué consideramos m*(-n+An)?

    Gracias

    • Asun:
      1º Tenemos E \subseteq S_j \subseteq (-1, 2] luego E_k=r_k+E \subseteq (-2, 3], y por lo tanto tenemos la inclusión\displaystyle{\bigcup_{k=1}^\infty E_k \subseteq (-2,3].}
      2º Además m(E_k)=m(E), es decir, el término general de la serie convergente \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty m(E_k)} es constante, y esto sólo es posible si m(E)=0.
      3º Consideramos m^\ast (-n + A_n) para poner de relieve que -n + A_n es un conjunto de medida exterior positiva que está contenido en el intervalo [0,1] y según el razonamiento del primer párrafo, debe contener un subconjunto no medible.
      Saludos,
      Miguel

  29. Ana del Valle dijo:

    miguel, yo tengo dudas en la solución al ejercicio 10 de la relación 6:
    Al final dice que f=0 c.t.p, ¿no sería f=g c.t.p?
    Estoy segura de que ese último razonamiento del ejercicio es muy sencillo pero esque no lo veo y es mejor preguntar a quedarme con la duda.
    Gracias.

    • Ana, tienes razón, hay una errata, donde dice f=0 c.t.p. debería decir f=g c.t.p. El motivo es que |f-g| es una función medible no negativa cuya integral es cero, y por lo tanto |f-g|=0 c.t.p.
      Saludos,
      Miguel

  30. Estaré a vuestra disposición esta tarde en el foro abierto. Y ahora, a estudiar, que por vosotros hacéis.
    Saludos,
    Miguel

  31. Jesús dijo:

    Miguel, veo algo extraño en la demostracion del ejercicio 5 práctica 7. Llevo pensando un tiempo y me choca el fijar un x y un n_0, entiendo lo de fijas el n_o pero no lod e fijar el x creo que el x debería de estar fijo así si x es mayora o menos que n_o la integral sería cero y en caso contrario sería 1. Pues choca como contradicción que n_0>x y después n>n_0 ya que suponemos n<=x<=n+1.

  32. Jesús, queremos probar que \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)} para todo x \in \mathbb{R}. Fijamos x_0 \in \mathbb{R} y elegimos n_0 \in \mathbb{N} lo suficientemente grande como para que n_0  > x_0. Ahora n \geq n_0 \Rightarrow  x_0 < n \Rightarrow f_n(x_0)=0. Espero que el pequeño cambio en la notación haya sido aclaratorio.
    Saludos,
    Miguel
    P.D. Ruego sigáis comentando en la nueva entrada, Foro abierto II para evitar la saturación de comentarios.

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