La integral de Lebesgue

1. Introducción

La integral clásica de Riemann, introducida en el siglo XIX, tropieza con dificultades cuando se enfrenta a procesos de convergencia. La integral de Lebesgue permite la transición al límite sin ningún tipo de restricciones. Además, la integral de Lebesgue no se reduce a funciones definidas en intervalos acotados, sino que permite la integración extendida a dominios mucho más generales.

También, las integrales impropias se engloban dentro del mismo marco, sin necesidad de procesos especiales de paso al límite. Finalmente, la integral de Lebesgue constituye una herramienta imprescindible en el Análisis de Fourier, el Análisis Funcional y otras ramas de las Matemáticas.

2. Funciones simples

La función característica \chi_A de un conjunto cualquiera de números reales A \subseteq \mathbb{R} se define como \chi_A (x) = 1 si x \in A y \chi_A (x) = 0 si x \notin A.

Una función simple es cualquier función de variable real de la forma \displaystyle{ f= \sum_{j=1}^n a_j \chi_{E_j},} donde a_j \in \mathbb{R} y cada E_j \subseteq \mathbb{R} es un conjunto medible. Observemos que esta representación para f no es única. Una función es simple si y sólo si toma una cantidad finita de valores. Si f es una función simple y \{a_1, \ldots , a_n\} es el conjunto de valores no nulos de f entonces se tiene una representación de la forma \displaystyle{f= \sum_{j=1}^n a_j \chi_{A_j},} donde A_j=\{ x \in \mathbb{R}: f(x)=a_j\}. Esta representación para f se llama representación canónica y se caracteriza porque los conjuntos A_j son disjuntos y los valores a_j son distintos.

Si f es una función simple que se anula fuera de un conjunto de medida finita, entonces se define su integral de Lebesgue como

\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}f(x)dx:=\sum_{j=1}^na_jm(A_j),}

donde \displaystyle{ f= \sum_{j=1}^n a_j \chi_{A_j}} es su representación canónica. Se escribe de forma abreviada \displaystyle{\int f.}

Si E \subseteq \mathbb{R} es un conjunto medible cualquiera entonces se define la integral de f extendida a E mediante la expresión

\displaystyle{\int_E f:=\int f \cdot \chi_E.}

A menudo resulta conveniente trabajar con representaciones que no son canónicas y el siguiente lema tiene mucha utilidad.

Lema 1. Sea \displaystyle{f= \sum_{j=1}^n a_j \chi_{E_j},} con E_j \cap E_k = \emptyset cuando j \neq k. Supongamos que cada conjunto E_j es medible y tiene medida finita. Entonces

\displaystyle{\int f = \sum_{j=1}^n a_jm(E_j).}

Proposición 1. Si f,g son dos funciones simples que se anulan fuera de un conjunto medible de medida finita entonces

\displaystyle{\int (af + bg)=a\int f + b \int g.}

Si además f \geq g entonces \displaystyle{\int f \geq \int g.}

3. Funciones medibles

Se dice que una función real de variable real f es medible si f^{-1}(B)=\{x \in \mathbb{R}: f(x) \in B\} es medible para cada conjunto de Borel B \subseteq \mathbb{R}. El siguiente resultado proporciona algunas condiciones sencillas para comprobar en la práctica si una función es medible.

Proposición 2. Sea f una función real de variable real. Son equivalentes:

  1. f es una función medible,
  2. \forall \alpha  \in \mathbb{R} el conjunto \{ x \in \mathbb{R}: f(x) \leq \alpha \} es medible,
  3. \forall \alpha \in \mathbb{R} el conjunto \{ x \in \mathbb{R}: f(x) > \alpha \} es medible,
  4. \forall \alpha  \in \mathbb{R} el conjunto \{ x \in \mathbb{R}: f(x) \geq \alpha \} es medible,
  5. \forall \alpha  \in \mathbb{R} el conjunto \{ x \in \mathbb{R}: f(x) < \alpha \} es medible.

Los siguientes resultados muestran cómo ciertas operaciones con funciones medibles conducen a nuevas funciones medibles.

Proposición 3. Si f,g son dos funciones medibles y c es una constante entonces las funciones f+c, cf, f+g, fg también son medibles.

Teorema 1. Si (f_n) es una sucesión de funciones medibles entonces las funciones \sup \{f_1 , \ldots f_n\}, \inf \{f_1 , \ldots f_n\}, \sup \{ f_n: n \in \mathbb{N}\}, \inf \{ f_n: n \in \mathbb{N}\}, \limsup f_n, y \liminf f_n también son medibles.

Se dice que dos funciones f,g son iguales en casi todo punto y se simboliza como f=g \text{ c.t.p.} si el conjunto \{x \in \mathbb{R}: f(x) \neq g(x)\} tiene medida nula.

Proposición 3. Si f es una función medible y f=g \text{ c.t.p.} entonces g es medible.

Se dice que una sucesión de funciones (f_n) converge hacia una función f en casi todo punto si existe un conjunto E \subseteq \mathbb{R} tal que m(E)=0 y f(x)=\lim f_n(x) para todo x \in \mathbb{R} \backslash E.

Proposición 4. Si una sucesión de funciones medibles (f_n) converge en casi todo punto hacia una función f entonces f es medible.

4. Integración de funciones no negativas.

Si f es una función medible no negativa entonces se define su integral de Lebesgue mediante la expresión

\displaystyle{\int f = \sup \left \{ \int s : s \mbox{ simple, } 0 \leq s \leq f \right \}.}

El siguiente resultado proporciona un tratamiento útil de la integral de una función medible no negativa como el límite de una sucesión de integrales de funciones simples.

Teorema 2.
Si f es una función medible no negativa entonces existe una sucesión (s_n) de funciones simples no negativas tal que

  1. s_n(x) \leq s_{n+1}(x) para todo x \in \mathbb{R} y para todo n \in \mathbb{N},
  2. s_n(x) \leq f(x) para todo \in \mathbb{R} y para todo n \in \mathbb{N},
  3. \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} s_n(x)=f(x)} para todo x \in \mathbb{R}.

Si (s_n) es una sucesión de funciones simples con estas propiedades entonces se tiene

\displaystyle{\int f = \lim_{n \rightarrow \infty} \int s_n.}

Proposición 5. Si f,g son funciones medibles no negativas entonces

\displaystyle{\int (f+g) = \int f + \int g}.

5. Integración de funciones medibles

Si f es una función medible entonces f se descompone como f=f^+-f^-, donde las funciones f^+:=\max \{f,0\} y f^-:=-\min \{f,0\} son medibles y no negativas. Se dice que f es integrable Lebesgue si \displaystyle{\int f^+< \infty} y \displaystyle{\int f^- < \infty,} y en tal caso se define la integral de f mediante \displaystyle{\int f := \int f^+-\int f^-.} Observemos que f es integrable Lebesgue si y sólo si \displaystyle{\int |f| < \infty.}

Teorema 3. El conjunto \mathcal{L}^1 de todas las funciones integrables Lebesgue es un espacio vectorial y la aplicación \displaystyle{f \longmapsto \int f} es una forma lineal sobre \mathcal{L}^1, es decir, si f,g \in \mathcal{L}^1 y c \in \mathbb{R} entonces \displaystyle{f+g \in \mathcal{L}^1,} \displaystyle{cf  \in \mathcal{L}^1,} y además \displaystyle{\int (f+g)=\int f + \int g,} \displaystyle{\int cf = c \int f.}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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