Atando cabos sueltos

He decidido publicar esta entrada para contestar a las preguntas sobre los problemas que quedaban por resolver y para que podáis plantear las dudas que aún puedan surgir.

Pedro pregunta por el ejercicio 2.7.

Sea (f_n) la sucesión de funciones definidas en el intervalo [0,\infty) mediante

\displaystyle{f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{e^{nx}}.}

  1. Probar que (f_n) converge puntualmente hacia cero.
  2. Probar que para cada p>0 hay convergencia uniforme en el intervalo [p, \infty).
  3. Decidir si la convergencia es uniforme en el intervalo [0,\infty).

Como f_n(0)=0 y como |f_n(x)| \leq e^{-nx} para todo x>0, se sigue que (f_n) converge puntualmente hacia cero. Además, para cada \delta >0 se tiene

\displaystyle{\sup_{x \geq \delta} |f_n(x)| \leq e^{-n\delta} \rightarrow 0}  cuando n \rightarrow \infty,

luego la convergencia es uniforme sobre [\delta, \infty). Sin embargo, esto no significa que haya convergencia uniforme sobre [0, \infty), y el hecho de ser f_n(0)=0 no aporta ninguna prueba en este sentido. El método descrito en clase consiste en considerar \displaystyle{M_n=\sup_{ x \geq 0} |f_n(x)|}  y decidir si \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} M_n =0.} Pues bien, en el caso que nos ocupa resulta que f_n(\pi/2n)=e^{-\pi/2}, luego M_n \geq e^{-\pi/2} y por lo tanto no hay convergencia uniforme.

Jesús pregunta por el ejercicio 4.9.

Sea f(x)=e^{-1/x^2}. Probar que f es de clase C^\infty y que f^{(n)}(0)=0 para todo n. Decidir si f es una función analítica.

Desde luego f no es analítica, porque en caso contrario se tendría la contradicción de ser

\displaystyle{f(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n =0.}

Vamos entonces a probar que f \in C^\infty y que f^{(n)}(0)=0 para todo n. Tenemos

\displaystyle{f^\prime(0)= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1/x}{e^{1/x^2}}= \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{t^{1/2}}{e^t}=0.}

A continuación calculamos

\displaystyle{f^{\prime \prime}(0)= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^\prime (x)-f^\prime (0)}{x-0}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2/x^4}{e^{1/x^2}}=\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{2t^2}{e^t}=0,}

y continuando este proceso se observa un patrón que anula todas las derivadas.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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