Medida de Lebesgue

1. Introducción

La longitud \ell (I) de un intervalo I \subseteq \mathbb{R} se define habitualmente como la distancia entre los extremos del intervalo. La longitud es un ejemplo de función de conjunto, es decir, una función que asocia un número real a cada elemento de una familia de conjuntos.

El objetivo es extender la noción de longitud a conjuntos más complicados que los intervalos. Se puede definir, por ejemplo, la longitud de un conjunto abierto como la suma de las longitudes de los intervalos abiertos que lo componen, pero la clase de los conjuntos abiertos es aún demasiado restringida.

Se trata entonces de construir una función de conjunto m que asigne a cada conjunto E en alguna familia {\mathcal M} de conjuntos de números reales, un número real no negativo m(E) llamado medida de E, de modo que se cumplan las siguientes propiedades:

  1. Si I \subseteq \mathbb{R} es un intervalo entonces m(I)=\ell(I),
  2. Si (E_n) es una sucesión de conjuntos disjuntos en {\mathcal M} entonces

    \displaystyle{m \left ( \bigcup_{n=1}^\infty E_n  \right )=\sum_{n=1}^\infty m(E_n),}

  3. Si a \in \mathbb{R} y E \in \mathcal{M} entonces m(a+E)=m(E).

Más adelante se verá que no es posible construir una función de conjunto que cumpla estas tres propiedades cuando {\mathcal M}={\mathcal P}(\mathbb{R}). La construcción se llevará a cabo entonces para una familia de conjuntos {\mathcal M} \subseteq {\mathcal P}(\mathbb{R}) lo más amplia posible.

2. Medida exterior

Sea A \subseteq \mathbb{R} un conjunto de números reales, sea (I_n)una sucesión infinita de intervalos abiertos tal que A \subseteq \bigcup I_n, y consideremos la suma infinita de las longitudes de estos intervalos. Como las longitudes son positivas, la suma infinita está bien definida, independientemente del orden de los intervalos. Se define la medida exterior m^\ast(A) como el ínfimo de tales sumas, es decir,

\displaystyle{m^\ast(A):= \inf \left \{\sum_{n=1}^\infty \ell (I_n): A \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty I_n \right \}.}

Se sigue inmediatamente de la definición que m^\ast(\emptyset)=0 y que si A \subseteq B entonces m^\ast(A) \leq m^\ast(B). También resulta evidente que la medida exterior de un conjunto que consiste de un punto es cero. A continuación se establecen dos proposiciones acerca de la medida exterior.

Proposición 1. La medida exterior de un intervalo es igual a su longitud.

Proposición 2. Si (A_n) es una familia numerable de conjuntos de números reales entonces se tiene

\displaystyle{m^\ast \left (\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right ) \leq \sum_{n=1}^\infty m^\ast(A_n).}

Corolario 1. Si A \subseteq \mathbb{R} es numerable entonces m^\ast(A)=0.

Corolario 2. El intervalo [0,1] es no numerable.

Proposición 3. Si A \subseteq \mathbb{R} y \varepsilon > 0 entonces existe un abierto G \supseteq A tal que

m^\ast(G) \leq m^\ast(A) +\varepsilon.

Proposición 4. Si A \subseteq \mathbb{R} entonces existe un conjunto G \in \mathcal{G}_\delta tal que G \supseteq A y tal que

m^\ast(G) = m^\ast(A).

3. Conjuntos medibles y medida de Lebesgue

La medida exterior tiene la ventaja de estar definida para cualquier conjunto de números reales, pero no es numerablemente aditiva. Sin embargo, se hace numerablemente aditiva cuando se restringe adecuadamente la familia de conjuntos donde está definida. Quizás la mejor forma de hacer esto sea usando la siguiente definición de Carathéodory.

Definición. Se dice que un conjunto E \subseteq \mathbb{R} es medible si para todo A \subseteq \mathbb{R} se tiene

m^\ast(A)=m^\ast(A\cap E)+m^\ast(A\cap E^{\rm c}).

Como siempre se tiene m^\ast(A) \leq m^\ast(A\cap E)+m^\ast(A\cap E^{\rm c}), resulta que E es medible si y sólo si m^\ast(A) \geq m^\ast(A\cap E)+m^\ast(A\cap E^{\rm c}). Como la definición de conjunto medible es simétrica respecto a E y E^{\rm c}, resulta que E es medible si y sólo si E^{\rm c} es medible. Está claro que \emptyset y \mathbb{R} son medibles.

Lema 1. Si m^\ast(E)=0 entonces E es medible.

Lema 2. Si E,F \subseteq \mathbb{R} son medibles entonces E \cup F es medible.

Corolario 3. La familia \mathcal{M} de los conjuntos medibles es un álgebra de conjuntos.

Lema 3. Si A \subseteq \mathbb{R} es un conjunto cualquiera y E_1 \ldots E_n es una sucesión finita de conjuntos medibles disjuntos entonces

\displaystyle{m^\ast  \left( A \cap \left [ \bigcup_{j=1}^n E_j \right ] \right)= \sum_{j=1}^n m^\ast ( A \cap  E_j).}

Teorema 1. La familia \mathcal{M} de los conjuntos medibles es una \sigma-álgebra, es decir, el complemento de un conjunto medible es medible, y la unión y la intersección de una familia numerable de conjuntos medibles es medible. Además, cualquier conjunto con medida exterior nula es medible.

Si E \subseteq \mathbb{R} es un conjunto medible, se define su medida de Lebesgue m(E) como su medida exterior, es decir, m(E)=m^\ast(E). Así, la medida de Lebesgue m es la restricción de la medida exterior m^\ast a la \sigma-álgebra \mathcal{M} de los conjuntos medibles. Las siguientes proposiciones resumen dos importantes propiedades de la medida de Lebesgue.

Proposición 5. Si (E_n) es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos entonces

\displaystyle{m(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)=\sum_{n=1}^\infty m(E_n).}

Proposición 6. Sea (E_n) una sucesión decreciente de conjuntos medibles, es decir, E_n \supseteq E_{n+1}, y supongamos que m(E_1) < \infty. Entonces se tiene

\displaystyle{m(\bigcap_{n=1}^\infty E_n)=\lim_{n \rightarrow \infty} m(E_n).}

4. Conjuntos de Borel y regularidad

Aunque la intersección de una familia cualquiera de conjuntos cerrados es cerrada y la unión de cualquier familia finita de conjuntos cerrados es cerrada, la unión de una familia de numerable de conjuntos cerrados no es necesariamente cerrada. El conjunto de los números racionales, por ejemplo, es la unión numerable de una familia de conjuntos cerrados, cada uno de los cuáles contiene exactamente un punto.

Como nos interesan \sigma-álgebras de conjuntos que contengan los conjuntos cerrados, debemos considerar conjuntos más generales que los abiertos y los cerrados. Se define la familia de los conjuntos de Borel \mathcal{B} como la menor \sigma-álgebra que contiene los subconjuntos abiertos. También se puede contemplar \mathcal{B} como la menor \sigma-álgebra que contiene los subconjuntos cerrados y como la menor \sigma-álgebra que contiene los intervalos abiertos.

Lema 4. El intervalo (a, \infty) es medible.

Teorema 2. Todo conjunto de Borel es medible. En particular, todo conjunto abierto y todo conjunto cerrado es medible.

Proposición 7. Sea E \subseteq \mathbb{R} un conjunto cualquiera. Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. E es medible,
  2. \forall \varepsilon > 0 existe un conjunto abierto G \supseteq E tal que m^\ast(G \backslash E) < \varepsilon,
  3. \forall \varepsilon > 0 existe un conjunto cerrado F \subseteq E tal que m^\ast(E \backslash F) < \varepsilon,
  4. Existe G \in \mathcal{G}_\delta con G \supseteq E y tal que m^\ast(G \backslash E) =0,
  5. Existe F \in \mathcal{F}_\sigma con F \subseteq E y tal que m^\ast(E \backslash F) =0.

5. Existencia de conjuntos no medibles

Vamos a demostrar la existencia de un conjunto no medible. Se define una relación de equivalencia en el intervalo [0,1) del siguiente modo: dos números x,y \in [0,1) son equivalentes si x-y \in \mathbb{Q}. Esta relación define una partición del intervalo [0,1) en clases de equivalencia. Gracias al axioma de elección, existe un conjunto S \subseteq [0,1) que contiene exactamente un elemento de cada clase. Sea ahora (r_j) una numeración de los números racionales en el intervalo (-1,1) y sea S_j=r_j+S. Veamos cómo (S_j) es una sucesión de conjuntos disjuntos. Si x \in S_j \cap S_k entonces x=r_j+s_j y x=r_k+s_k con s_j,s_k \in S, pero s_j-s_k=r_k-r_j \in \mathbb{Q}, luego s_j=s_k y por lo tanto n=m. Además se tiene

\displaystyle{[0,1) \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty S_j \subseteq (-1,2),}

porque si x \in [0,1) entonces x está en alguna clase de equivalencia, luego existe algún y \in S tal que x-y \in \mathbb{Q}, de modo que x-y=r_j para algún j \geq 1, y así x \in S_j. Ahora probamos que S no es medible por reducción al absurdo. Si S es medible entonces S_j es un conjunto medible con m(S_j)=m(S) para todo j \geq 1 y por lo tanto

\displaystyle{m ( \bigcup_{j=1}^\infty S_j) = \sum_{j=1}^\infty m(S_j)= \sum_{j=1}^\infty m(S),}

y esto es una contradicción porque \displaystyle{ 1 \leq m (\bigcup_{j=1}^\infty S_j) \leq 3}, mientras que la serie de la derecha converge a cero o diverge, según sea m(S) cero o positiva.

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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10 respuestas a Medida de Lebesgue

  1. cristina perez gil dijo:

    le querria pedir si puede subir o dar en clase la demostracion de la proposicion 6, ya que aunque la mando como ejercicio quiero estar segura de que la demostracion esta bien

  2. Asun dijo:

    Me gustaría saber si la última parte de este tema referida a la demostración de la existencia de conjuntos no medibles, tenemos que aprendernosla de cara al exámen o no, puesto que como dijimos que las demostraciones de proposiciones, corolarios y demás no entraban no sé si esta tampoco. Gracias

  3. Pedro dijo:

    Miguel tengo una duda en la demostracion que dice que la medida exterior de un conjunto es invariante por traslaciones. Es algo muy natural pero a la hora de demostrarlo me cuesta mucho.

    En la primera parte demuestras que la m*(A)<= m*(a+A) que lo entiendo bien.
    Pero después para demostrar la desigualdad contraria dice que tomemos
    A = (-a) + (a+A)
    Mi duda es llegar a partir de esa igualdad a la desigualdad que tengo que demostrar.

    Sé que tiene que ser una tontería pero no consigo verlo.
    Gracias

  4. Pedro:
    A lo mejor un cambio de notación clarifica el asunto. Supongamos que m^\ast(B) \leq m^\ast(b+B) para todo b \in \mathbb{R}, \;B \subseteq \mathbb{R}. Aplicando esta desigualdad cuando b=-a,\; B=a+A resulta que tenemos

    \displaystyle{m^\ast (a+A)=m^\ast(B) \leq m^\ast (b+B)= m^\ast((-a)+(a+A))=m^\ast(A).}

    Saludos,
    Miguel

  5. Ana del Valle dijo:

    hay algo que todavia no tengo muy claro respecto a la medida exterior:
    ¿Si AcG (c=contenido) entonces m*(A) < m*(G) ?
    Creo que el problema está en que no veo muy bien la diferencia entre la proposición 3 y 4. ¿ qué denota G sub delta?

    gracias.

  6. Ana:

    1º Si A \subseteq B entonces m^\ast(A) \leq m^\ast(B). Esto se sigue directamente de la definición de medida exterior, porque cualquier familia numerable de intervalos abiertos que cubra a A, también cubre a B.

    2º Un conjunto \mathcal{G}_\delta es cualquier intersección numerable de conjuntos abiertos.

    3º La proposición 3 significa que cualquier conjunto se puede aproximar exteriormente por un abierto cuya medida exterior es aproximadamente igual a la medida exterior del conjunto. La proposición 4 significa que cualquier conjunto se puede aproximar exteriormente por un conjunto \mathcal{G}_\delta cuya medida exterior es exactamente igual a la medida exterior del conjunto dado.

    Saludos,
    Miguel

  7. Ana del Valle dijo:

    hay una errata en la demostración del lema 4:
    Casi al final, cuando dice que m*(A1)+ m*(A2) <= (suma) m*(Jn)+ m*(kn) , tendría que ser (suma) m*(kn).

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