Series de potencias

Una serie de potencias centrada en x_0 \in \mathbb{R} es cualquier serie de funciones de la forma \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,\;} donde los coeficientes a_n\, son números reales. La prueba de mayoración de Weierstrass en combinación con el criterio de la raíz constituye un instrumento ideal para estudiar las funciones definidas mediante series de potencias.

Teorema. (Criterio de Cauchy-Hadamard.)  Consideremos una serie de potencias

\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n}

y definamos su radio de convergencia mediante la fórmula

\displaystyle{\frac{1}{R}= \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.}

  1. Si |x-x_0|<R entonces la serie converge absolutamente.
  2. Si |x-x_0|>R entonces la serie no converge.
  3. Si 0<r<R entonces la serie converge uniformemente sobre [x_0-r, x_0+r].

Proposición 1.  Sea \displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n} y sea \displaystyle{\frac{1}{R}= \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.\;} Entonces f es continua en (x_0-R,x_0+R)\; y además, para cada x \in  (x_0-R,x_0+R)\; se tiene

\displaystyle{\int_{x_0}^x f(t)\,dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}.}

Proposición 2 .  Sea \displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n} y sea \displaystyle{\frac{1}{R}= \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.\;} Entonces f es derivable en (x_0-R,x_0+R)\; y además, para cada x \in  (x_0-R,x_0+R)\; se tiene

\displaystyle{f^\prime(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n (x-x_0)^{n-1}.}

Corolario.  Si \displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n} entonces f admite derivadas de todos los órdenes y además se tiene

\displaystyle{f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty n(n-1) \cdots (n-k+1) a_n (x-x_0)^{n-k}.}

En particular, los coeficientes de la serie de potencias son los coeficientes de Taylor de f,\; es decir,

\displaystyle{a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.}

Se dice que una función f es de clase C^\infty en x_0 si f admite derivadas de todos los órdenes en x_0. Se dice que una función f es analítica en x_0 si existe una serie de potencias centrada en x_0 tal que \displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n.\;} Según el corolario anterior, toda función analítica es de clase C^\infty,\; y además la suma parcial n-ésima de su desarrollo en serie de potencias es su polinomio de Taylor, \displaystyle{P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}.(x-x_0)^k.}

La función f(x)=e^{-1/x^2}\; es de clase C^\infty\; pero no es analítica en x_0=0\; porque f^{(n)}(0)=0\; para todo n \in \mathbb{N}.\; Una función f\; de clase C^\infty\; es analítica en x_0=0\; si los restos de Taylor R_n(x)=f(x)-P_n(x)\; satisfacen la condición \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}R_n(x)=0.}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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9 respuestas a Series de potencias

  1. mª Asunción Jiménez Cordero dijo:

    Queremos demostrar si la serie f(x)=arctg(x) es analítica o no. A través de sud derivada y de la integral obtenemos una serie de potencias, ¿esa serie es el polinomio de Taylor? ¿Hay que ver si su resto vale cero?¿Hay que hallar el radio de convergencia?

    • Una vez que tienes la función representada por una serie de potencias con radio de convergencia positivo, ya has demostrado que la función es analítica, y la serie de potencias es precisamente la serie de Taylor.
      — Miguel

  2. Ana del Valle dijo:

    Miguel puede hacer el ejercicio:
    \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty ((-1)^(n+1))((n+3)^n))/5^n,\;}

    Es decir, el apartado cuarto del ejercicio 1 de la relación 4

    Esque al calcular la raiz e-ésima de |an| me sale una raiz negativa
    Gracias

  3. Ana del Valle dijo:

    En el ejercicio 5 de la relación 4 hay un fallo: pone que f(x)=al sumatorio pero no pone a_n(x^n)

  4. Ana del Valle dijo:

    Creo que en el ejercicio 6 de la relación 3 hay otro fallo y es que cuando define f(x) y g(x) creo que en realidad habría que poner f_n(x) y g_n(x)

  5. Asun dijo:

    En las series de potencias podemos usar el siguiente criterio que usábamos en series de números. Si el término general de una serie no tiende a cero, entonces la serie no converge.¿Podemos aplicarlo en el último apartado del ejercicio 4.8?

    • Este criterio se llama condición del resto, y claro que se puede aplicar, de hecho, en el criterio de Cauchy-Hadamard, la falta de convergencia para |x-x_0|>R se desprende de la condición del resto. Si te refieres en este ejemplo concreto al comportamiento en los extremos del intervalo de convergencia, la condición del resto le viene como anillo al dedo.

      Saludos,
      Miguel

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